게으른맽랩 lazy matlab

'미적분의 힘'이라는 책을 읽고 있는데, $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... = \frac{4}{3}$$ 를 귀류법으로 증명할 수 있다고 나온다. 그런데 할 수 있다고만 나오지 어떻게 하는지는 안 나온다. 그래서 해봤다. 어쩌다보니 증명을 해버렸다. 위 식이 $4/3$가 아니라면 $4/3$보다 크거나 작다. 1. 위 식이 $4/3$보다 작다면? 어떤 양수 $\epsilon$이 존재해서 $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... = \frac{4}{3} - \epsilon$$ 을 만족한다. 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면 $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \f..

(참고: quantifier를 양화사라고 부르기도 하는데, 개인적으로 한정사라고 부르기를 더 좋아한다.) 아래 두 명제를 보자. For $x, y \in \mathbb{R}$, 1) $\forall x, \exists y, x+y=0$2) $\exists y, \forall x, x+y=0$ 둘 중 하나만 참이다. 어느게 참일까? 명제는 앞에서부터 읽어야 한다. 그리고 각각의 한정사는 뒤의 모든 내용을 한정짓는다. 1) $\forall x, \exists y, x+y=0$ 임의의 실수 $x$에 대해서 뒤의 내용이 참이라는 뜻이다. 즉,임의의 실수 $x$에 대해 어떤 실수 $y$가 존재하여 $x+y=0$을 만족한다.라는 뜻이다. 간혹 아래와 같이 번역되는 경우가 있다.임의의 실수 $x$에 대해 $x+y=0..

(본 글은 수학의 즐거움 직문수 4강을 참고하여 작성한 것입니다.) 아래와 같은 함수 $f: A \to B$가 있다. 함수가 갖춰야 할 조건을 모두 갖췄으므로 분명히 함수가 맞다. $f: A \to B$의 역함수 $g: B \to A$는 아래 조건을 만족해야 한다. $$g \circ f = \mathrm{id}_A$$ $$f \circ g = \mathrm{id}_B$$ $\mathrm{id}_A$와 $\mathrm{id}_B$는 각각 $A$에서 $A$로 가는 항등함수, $B$에서 $B$로 가는 항등함수를 말한다. 합성 함수의 결과가 항등함수가 되어야 한다고 하니, 그냥 심플하게 뒤집어서 붙여보자. 아차, $g$가 함수가 아니다. $g$가 함수이려면 어떻게 해야 할까? 우선 2와 3이 모두 $b$를 가리..

수학에서 공리는 왜 필요할까? 수학의 모든 명제는 근거가 있어야 한다. 명제 A를 증명하기 위해서는 근거가 되는 다른 명제 B가 있어야 한다. 즉, "B에 의해 A가 참이다."라는 문장으로 서술되어야 한다. 그런데 명제 B 또한 참이기 위한 근거가 필요하다. 명제 B가 참이 되는 이유를 명제 C라고 하자. 그렇다면 수학의 각 명제는 아래와 같은 논리로 연결될 것이다. 그런데 우리는 아래와 같은 순환논리에 빠지기는 원치 않는다. A가 참인 이유는 B 때문이고, B가 참인 이유는 C 때문이고, C가 참인 이유는 A 때문이다…와 같은 순환논리는 결국 "A가 참인 이유는 A가 참이기 때문이다"라는 항진식tautology에 지나지 않기 때문이다. 아래 대화를 보자. Q. 여기 이디야 커피 어디 있어요? A. 본죽..

수학의 즐거움에서 인터뷰를 진행했습니다. 시간 관계상 불가피하게 얘기하지 못한 부분들이 조금 있었습니다. 인터뷰를 위해 준비했던 대본(?) 전문을 올려봅니다. A. 본인에 대해 소개해주세요. 안녕하세요. 수학의 즐거움에서 수학 공부 중인 강성훈이라고 합니다. 현재 원격대학에서 공학분야 교수로 재직 중입니다. 학위는 학사, 석사, 박사 모두 기계공학으로 받았고, 대학원 연구 분야는 메카트로닉스, 좀 더 specific하게는 초정밀 시스템 설계였습니다. Application은 biomedical imaging 쪽이었습니다. 졸업 후에는 회사 몇 년 다니다가 큰 기계의 부품처럼 일하는 게 싫어서, 그리고 교육에 뜻이 있어서 때려치고, 이후 포닥, 중견기업 등 유랑생활을 좀 하다가 지금은 어느 정도 정착해 있습..

0. 요즘 수학의 즐거움 채널에서 조금 찐하게 수학을 공부 중이다. 채널 활동 중에서도 받는 질문이자 개인적으로도 스스로에게 묻는 질문이다. 나는 수학을 왜 공부하는가. 그 전에 어릴 때 얘기를 좀 해보고자 한다. 1. 나는 국민학교를 입학하여 국민학교를 졸업한 세대이다. 4학년 때 선생님의 권유로 산수경시를 시작했다. 상도 많이 받았다. 중학교 때까지 도 내에서는 거의 항상 1등을 했던 것 같다. 전국대회 상도 받았다. 국민학교 6학년 때 전국대회에서의 7등이 개인적으로 가장 높은 순위였던 것으로 기억한다. 2. 그런데 고등학교에 들어가면서부터 경시대회 성적이 꺾이기 시작했다. 문제가 풀리지 않았다. 큰 벽을 마주한 느낌이었다. 사춘기에 맞이한 존재론적 고민 때문인지, 수학의 정석에 맛을 들여서인지, ..

지수함수의 도함수 일단 임의의 양의 실수 $a$에 대해 지수함수 $y=a^x$는 $x\in\mathbb{R}$에서 잘 정의된다고 치자. 또한 그래프가 어떻게 생겼는지도 알고, 몇 가지 성질도 이미 주어져있다고 치자. ($a^0=1, a^1=1, a^{p+q}=a^p \cdot a^q, a^{pq}=\left(a^p\right)^q, a^{-p}=1/a^p$, 치역, 연속, 단조증가함수 등) 이제 $y=a^x$의 도함수를 계산해보자. $$\begin{align}\frac{df}{dx}&= \lim_{h\to0}{\frac{a^{x+h}-a^x}{h}} \\ &= a^x \lim_{h\to0}{\frac{a^{h}-1}{h}} \\ &=\lambda a^x \\ &=\lambda f(x) \tag{1} \e..

연분수를 이용한 증명 모든 유리수는 길이가 유한한 유한 연분수로 표현할 수 있다. (참고: https://blog.naver.com/alwaysneoi/100140972630) 반대로 말하면, 유한 연분수로 표현될 수 없으면 - 즉 무한 연분수로 표현되는 수는 무리수이다. 그리고 $\sqrt{2}$는 무한 연분수이다. (확인: https://www.cut-the-knot.org/proofs/SqContinuedFraction.shtml) 따라서 $\sqrt{2}$는 무리수이다. 부등식을 이용한 증명 우선 다음은 자명하다. $$1 < 2 < \frac{9}{4} $$ $$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$ $a$와 $b$가 $1

XOR의 논리테이블은 아래와 같다. 나는 XOR을 처음 배울 때 이게 참 안 외워졌었다. 두 개가 같을 때 1인지, 다를 때 1인지 항상 헷갈렸다. 물론 지금은 헷갈리지 않는다. XOR을 드디어 외웠기 때문이 아니다. eXclusive의 의미를 알기 때문이다. 영어에는 이런 표현이 있다. Apples and Oranges 과실수를 좋아하는 누군가의 명언인가 싶지만, 사실 전혀 다른 의미를 갖는 문구이다. 본질적으로 전혀 달라서 비교 자체가 성립하지 않는 경우에 Apples and Oranges라고 말한다. 그렇다면 다음 표현을 보자. 이 표현을 보고 사과 또는 오렌지라는 뜻이군. 라고 생각한다면 문과감성이 앞서 있는 사람이다. 반면, 사과일 수도 있고, 오렌지일 수도 있고, 둘 다일 수도 있군. 라고 생..