게으른맽랩 lazy matlab

아래는 영상의 내용을 요약한 것입니다.  • 수학 공부의 내공을 쌓으려면 우선 해석학 개론에 대한 트레이닝이 필요하다.• 해석학 개론을 통과했는지 알 수 있는 방법• Nonnegative인 실수 $x$가 임의의 양의 실수보다 작다면 $x=0$임을 증명할 수 있는가?• Nonnegative인 실수 $a$와 임의의 두 실수 $x$, $y$에 대해서 $a^x \times a^y = a^{x+y}$를 증명할 수 있는가?• 해석학 개론 트레이닝이란 내가 쓰는 문장이 100% 맞다는 확신이 드는 훈련을 말한다.• 수학 전공의 90%가 이것을 넘지 못한다.• 석사 레벨에서도 이 훈련이 되지 않은 경우가 대부분이다.• 스스로는 통과했다고 생각하는데, 문제를 풀어보라고 하면 자신없어 한다.• 내가 쓰는 문장이 맞다는 확..

이게 뭔가 싶었는데, 계산해보니까 정말 된다. import numpy as npval = 1/2i = 2for _ in range(20): seq = np.arange(2**(i-1)+1, 2**i+1) while len(seq) > 1: seq = seq[0::2] / seq[1::2] val = val / seq[0] print(val**2) i += 1 0.44444444444444440.489999999999999940.49868007925621080.499882850334469830.499993414444249160.49999977495866860.499999995458441540.49999999994700980.49999999999964850.499999..

1. 피보나치 수열의 일반항 피보나치 수열은 마지막 두 항을 더하여 새로운 항을 만드는 수열이다. $$ F_n = \{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...\} $$ 피보나치 수열의 일반항을 쓰는 방법이 있는데, Binet's formula라고 부른다. $$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right) $$ 수열의 유도 과정은 아래와 같다. 실수 $x$가 다음 방정식을 만족한다고 하자. $$ x^2 = x + 1 $$ 양변에 $x$를 곱하면 \begin{align}x^3 &= x^2 + x \\&= 2x + 1\end{align}..

• 미적분학 공부 도중 정리하고 싶은 것을 적어두는 공간입니다.• 김홍종 교수님의 미적분학 1, 2권을 보고 있습니다.• 필요하면 다른 책이나 인터넷도 참고합니다.   • 아래 수열은 발산한다. (참고: cases 수식 쓰기) $$a_n=\begin{cases}       n & n=짝수 \\      1/n & n=홀수   \end{cases}$$ • 당연히 발산하긴 하는데, 발산함을 formal하게 적을 수 있어야 한다. • 실수열 $\{a_n\}$이 어떤 실수 $l$에 수렴함은 아래와 같이 쓴다. $$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \vert a_n -l \vert  • 이것의 부정, 즉 발산은 위 문장의 부정형을 쓰면..

0. 들어가며 수학에서 역설은 흥미로운 주제이다. 듣다 보면 "이게 뭐지...?" 싶은데, 말이 되면서 동시에 말이 안되는 모순을 일으킨다. 그래서 흥미롭다. 생각할 거리를 주기 때문이다. 물론 흥미에서 끝나면 안되고, 해결을 해야 한다. • 그렐링-넬슨의 역설• 도서관 사서의 역설• 이발사의 역설• 베리의 역설• 러셀의 역설• 거짓말쟁이의 역설 이것들은 모두 다른 형태를 띠고 있지만, 곰곰이 따져보면 같거나 비슷한 명제의 다른 표현임을 알 수 있다. 주의: 이 글을 읽다보면 반복되는 단어에 정신이 혼미해질 수 있음 1. 그렐링-넬슨의 역설 (Grelling–Nelson paradox) • 자기서술적인(Autological) 단어는 단어의 의미가 스스로를 설명하는 단어이다.• '짧다'는 짧다. 그래서 '..

자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는 게 무슨 말일까? 명백히 짝수는 자연수의 진부분집합이다. 그렇다면 자연수가 짝수보다 많다고 하는 것이 타당하지 않을까? 하지만 이게 생각만큼 간단한 문제가 아니다.   아래 집합을 보자. 여기, 외로운 과일 네 개가 있습니다.  과일 네 종류를 원소로 갖는 집합이다. 집합의 크기는 4이다. 이 집합을 아래와 같이 바꿨다.  사과 2개는 원소가 2개가 된 것이 아니고, 그냥 사과 2개를 하나로 묶은 것이다. 따라서 위와 같이 바꾼다고 해서 집합의 크기가 바뀌지는 않을 것이다. 원소가 몇 개이든 이 사실은 변함이 없다. 이번엔 아래를 보자.  $x$는 값이 아니라 기호이다. 위 집합은 $x^0$부터 $x^{10}$까지 11개의 원소를 갖는 집합이다. 이제 각 원소에 2를..

'미적분의 힘'이라는 책을 읽고 있는데, $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... = \frac{4}{3}$$ 를 귀류법으로 증명할 수 있다고 나온다. 그런데 할 수 있다고만 나오지 어떻게 하는지는 안 나온다. 그래서 해봤다. 어쩌다보니 증명을 해버렸다. 위 식이 $4/3$가 아니라면 $4/3$보다 크거나 작다. 1. 위 식이 $4/3$보다 작다면? 어떤 양수 $\epsilon$이 존재해서 $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... = \frac{4}{3} - \epsilon$$ 을 만족한다. 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면 $$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \f..

(참고: quantifier를 양화사라고 부르기도 하는데, 개인적으로 한정사라고 부르기를 더 좋아한다.) 아래 두 명제를 보자. For $x, y \in \mathbb{R}$, 1) $\forall x, \exists y, x+y=0$2) $\exists y, \forall x, x+y=0$ 둘 중 하나만 참이다. 어느게 참일까? 명제는 앞에서부터 읽어야 한다. 그리고 각각의 한정사는 뒤의 모든 내용을 한정짓는다. 1) $\forall x, \exists y, x+y=0$ 임의의 실수 $x$에 대해서 뒤의 내용이 참이라는 뜻이다. 즉,임의의 실수 $x$에 대해 어떤 실수 $y$가 존재하여 $x+y=0$을 만족한다.라는 뜻이다. 간혹 아래와 같이 번역되는 경우가 있다.임의의 실수 $x$에 대해 $x+y=0..

(본 글은 수학의 즐거움 직문수 4강을 참고하여 작성한 것입니다.) 아래와 같은 함수 $f: A \to B$가 있다. 함수가 갖춰야 할 조건을 모두 갖췄으므로 분명히 함수가 맞다. $f: A \to B$의 역함수 $g: B \to A$는 아래 조건을 만족해야 한다. $$g \circ f = \mathrm{id}_A$$ $$f \circ g = \mathrm{id}_B$$ $\mathrm{id}_A$와 $\mathrm{id}_B$는 각각 $A$에서 $A$로 가는 항등함수, $B$에서 $B$로 가는 항등함수를 말한다. 합성 함수의 결과가 항등함수가 되어야 한다고 하니, 그냥 심플하게 뒤집어서 붙여보자. 아차, $g$가 함수가 아니다. $g$가 함수이려면 어떻게 해야 할까? 우선 2와 3이 모두 $b$를 가리..

수학에서 공리는 왜 필요할까? 수학의 모든 명제는 근거가 있어야 한다. 명제 A를 증명하기 위해서는 근거가 되는 다른 명제 B가 있어야 한다. 즉, "B에 의해 A가 참이다."라는 문장으로 서술되어야 한다. 그런데 명제 B 또한 참이기 위한 근거가 필요하다. 명제 B가 참이 되는 이유를 명제 C라고 하자. 그렇다면 수학의 각 명제는 아래와 같은 논리로 연결될 것이다. 그런데 우리는 아래와 같은 순환논리에 빠지기는 원치 않는다. A가 참인 이유는 B 때문이고, B가 참인 이유는 C 때문이고, C가 참인 이유는 A 때문이다…와 같은 순환논리는 결국 "A가 참인 이유는 A가 참이기 때문이다"라는 항진식tautology에 지나지 않기 때문이다. 아래 대화를 보자. Q. 여기 이디야 커피 어디 있어요? A. 본죽..