[수학의 즐거움] 수학 공부의 내공을 쌓으려면?

 

 

아래는 영상의 내용을 요약한 것입니다.

 

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• 수학 공부의 내공을 쌓으려면 우선 해석학 개론에 대한 트레이닝이 필요하다.

• 해석학 개론을 통과했는지 알 수 있는 방법
• Nonnegative인 실수 $x$가 임의의 양의 실수보다 작다면 $x=0$임을 증명할 수 있는가?
• Nonnegative인 실수 $a$와 임의의 두 실수 $x$, $y$에 대해서 $a^x \times a^y = a^{x+y}$를 증명할 수 있는가?

• 해석학 개론 트레이닝이란 내가 쓰는 문장이 100% 맞다는 확신이 드는 훈련을 말한다.
• 수학 전공의 90%가 이것을 넘지 못한다.
• 석사 레벨에서도 이 훈련이 되지 않은 경우가 대부분이다.
• 스스로는 통과했다고 생각하는데, 문제를 풀어보라고 하면 자신없어 한다.
• 내가 쓰는 문장이 맞다는 확신이 없으면 그 다음 단계는 아예 갈 수 없다.
• 이 훈련이 되어 있지 않으면 수학책이 잘 읽히지도 않을 것이다.
• 수학책이 읽히지 않는다면 쓸 줄 모르기 때문이다.
• 이것은 머리가 좋고 나쁨의 영역이 아니라 훈련과 요령의 영역이다.
• 이 훈련이 수학 공부의 첫 번째 단계이자, 가장 어렵고 가장 많은 인내가 필요한 단계이다.
• 하지만 시간과 수고만 들이면 얼마든지 할 수 있다.

• 다만 잘 하는 사람으로부터 피드백을 받을 수 있어야 빨리 훈련할 수 있다.

 

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• 해석학 개론 훈련이 끝나고 나면 공학 계열에서는 에이스가 될 수 있다.
• 학부 수준의 수학책이나 공학 계열의 논문을 읽는 데에 전혀 어려움이 없을 것이다.
• 해석학 개론 훈련이 된 후 실해석학(측도론)까지 보고 나면 미분과 적분에 대한 세계관들을 내 엄밀한 언어로 서술할 수 있는 기반이 잡힌다.
• 그 이후에는 논문이든 책이든 다 읽힐 것이다. 결국은 전부 미적분학으로 표현되기 때문이다.
• 이 정도면 공학 계통에서 필요한 수학은 충분할 것이다.

 

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• 수학에서는 외워야 하는 것은 없다.
• 외운다는 것은 전혀 이해를 하지 못했다는 뜻이다.
• 이해를 하고 나면 외울 수가 없다. 사고 프로세스가 달라지기 때문이다.

 

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• 그 다음 단계는 레퍼런스 없이 백지에 쓰기이다.
• 시간만 있다면 해석학 개론이든 뭐든 내 방식과 내 언어로 엄밀하게 기술할 수 있어야 한다.
• 이게 안되면 수학 공부는 아예 할 수 없다. 수학 공부를 위한 필요조건이다.
• 심지어 이게 가능해도 수학자 커리어를 가지 못하는 경우가 대부분이다.

 

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• 수학은 기본 언어가 있다. 해석학, 대수학, 위상수학이다.
• 어느 분야의 수학을 사용하든 이 세 가지가 기본 언어이다.
• 수학에 대해서 의미있는 세계관을 보기 위해서는 이것들 전체에 대한 기본적인 훈련이 되어 있어야 한다.
• 특히 대수학과 위상수학은 추상화에 대한 사고방식 훈련이 필요하다.
• 이게 되고 나면 수학책 읽는 것이 굉장히 쉬워진다.

 

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• 수학의 내공을 쌓으려면 시행착오를 빨리 겪어야 한다. 
• 그리고 피드백을 받아야 한다. 피드백이 정말 중요하다.
• 혼자 하면 잘 안된다. 1-2년 이상 같이 할 수 있는 스터디를 구해서 같이 하는 것이 좋다.

 

 

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