2변수 함수의 극값의 2계도함수 판정법에 대해

 

 

2변수 함수의 극값의 2계도함수 판정법에 대해 아주 재미없는 글을 쓴 적이 있다. Positive-definite matrix니 eigenvalue니 하는 것들을 죄다 가져와서 설명했었는데, 그럴 필요가 없음을 오늘 깨달았다.

 

이 글의 아이디어는 칸 아카데미에서 가져왔으나, 논증 과정 일부는 변형했다.

 

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• 2변수 함수의 점 $(x_0, y_0)$에서의 quadratic approximation은 아래와 같다.

 

\begin{align}
f(x, y) \cong f(x_0, y_0) &+ (x-x_0, y-y_0) \nabla f(x_0, y_0) + \\
& \frac{1}{2} (x-x_0, y-y_0) H_f(x_0, y_0) (x-x_0, y-y_0)^T
\end{align}

 

• 여기서 $H_f$는 Hessian matrix이다.

 

\begin{equation}
H_f(x_0, y_0) =  \begin{bmatrix} 
   f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\
   f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \\
   \end{bmatrix} 
\end{equation}

 

 

• 극점을 고려하고 있으므로 식은 아래와 같이 된다. $\Delta x := x-x_0$, $\Delta y := y-y_0$로 단순화했다.

 

 \begin{align}
f(x, y) &\cong f(x_0, y_0) + \frac{1}{2} (\Delta x, \Delta y) H_f(x_0, y_0) (\Delta x, \Delta y)^T \\
&= f(x_0, y_0) + \frac{1}{2} \left(  f_{xx} (\Delta x)^2 + 2 f_{xy} \Delta x \Delta y + f_{yy} (\Delta y)^2    \right)
\end{align} 

 

• 수식 쓰기 귀찮으니까 $f_{xx}$를 $a$로, $f_{xy}$를 $b$로, $f_{yy}$를 $c$로 치환하면,

• 결국 아래 식이

 

 \begin{align}
P = a x^2 + 2 b xy + c y^2
\end{align} 

 

• 항상 양수가 될 조건, 항상 음수가 될 조건, 둘 다 아닐 조건을 찾는 문제이다.

• 극점의 종류를 알고 싶다는 것은, 극점 $(x_0, y_0)$의 근방이 어떻게 생겼는지를 알고 싶다는 것이고,

• 극점의 근방, 즉 극점에서 조금 벗어났을 때 함수값의 변화를 알고 싶은 것이기 때문이다.

• 위 식을 아래와 같이 변형하면,

 

\begin{align}
P = a\left( x + \frac{b}{a} y \right) ^2 + y^2 \left( c - \frac{b^2}{a} \right)
\end{align} 

 

• 알 수 있는 것

• $a>0$이고 $c-b^2/a >0$이면 $P$는 항상 0보다 크거나 같다. (=극점이 극소이다.)

• $a<0$이고 $c-b^2/a <0$이면 $P$는 항상 0보다 작거나 같다. (=극점이 극대이다.)

 

• 그런데 위 두 조건에서 $a$의 부호가 반대이므로, 정리해보면,

• $ac-b^2 >0$이면, $a>0$이면 극소이고 $a<0$이면 극대이다.

 

• $ac-b^2 <0$이면?

• $a<0$이면 $c-b^2/a>0$이므로 $P$는 양수와 음수를 모두 가질 수 있고,

• $a>0$이면 $c-b^2/a<0$이므로 마찬가지로 $P$는 양수와 음수를 모두 가질 수 있다.

• 이 점을 안장점이라고 부른다.

 

• $ac-b^2$은 Hessian matrix의 행렬식이므로,

• 우리가 알고 있는 2계도함수 판정법이 도출된다.

 

끗