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Suppose $f: G \to G'$ is a group homomorphism, and $e$ and $e'$ are the identity elements of $G$ and $G'$, respectively. 1. Identity preservation: $f(e) = e'$ pf) $\forall g\in G, f(g) = f(e\,g) = f(e)  f(g)$. Thus $f(e) = e'$.  2. Inverse preservation: $\forall g\in G, f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ pf) $\forall g\in G, e' = f(e) = f(g\,g^{-1}) = f(g)  f(g^{-1})$. Thus $f(g)^{-1} = f(g^{-1})$.  3. Kern..

HORIZON의 12월 퍼즐이 재밌어 보여서 풀어봤다. 크리스마스 트리의 전구를 삼각형 모양으로 배치하고, 맨 아래층의 켜짐/꺼짐 상태로부터 맨 위층이 켜질지 꺼질지 예측하는 것이다.  전구는 위 그림처럼 아래 두 전구가 다르면 꺼지고 같으면 켜진다. 곰곰이 생각해보니 홀짝성 문제임을 알 수 있었다. (짝, 짝)이거나 (홀, 홀)이면 켜지고, 그 외에는 꺼진다. 즉, 합이 짝이면 켜지고 합이 홀이면 꺼진다. 문제는 다음과 같다. 2049층짜리 트리를 만들고, 1층 전구 상태를 원주율에 따라 결정한다. 1층의 n번째 전구는 원주율 소수점 아래 n번째 자리 숫자가 홀수이면 끄고 짝수이면 켠다. 이 트리의 맨 윗층 전구는 켜질까, 꺼질까?  원주율의 모든 숫자를 다 이용하도록 문제를 만들지는 않았을 것이다. ..

Suppose a set $X = \{x_{\alpha} > 0 | \alpha \in I\}$ is an uncountable set. We will show that the sum of all elements of $X$ is infinite. Consider the family of the following sets. $$ S_n := \left\{ x_{\alpha} \in X \; \mid \; x_{\alpha} \ge \frac{1}{n} \right\} $$ Then $$\bigcup_{n\in \mathbb{N}} S_n = X$$ $X$ is uncountable, so there exists $n_0 \in \mathbb{N}$ such that $S_{n_0}$ is an infin..

[Thm 1] For integers $m$, $n$, $x$, if $m$ and $n$ are coprime, then the followings are equivalent.(a) $\gcd(mn, x) = 1$(b) $\gcd(m, x) = 1$ and $\gcd(n, x) = 1$(c) $\gcd(m, a) = 1$ and $\gcd(n, b) = 1$ where $a$ and $b$ are remainders of $x$ divided by $m$ and $n$, respectively.[Def] $\mathbb{U}_n := \{x\in \mathbb{Z} \;|\; 0 \le x Given two coprime positive integers $m$, $n$, define a function..

이 글 대부분은 교양을 위한 대학수학 2(김성기 외, 교우사)의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 다변수 함수 $f(X)$의 증감 여부, 증감속도(도함수의 크기)는 방향에 따라 달라진다. 임의의 방향으로의 기울기를 어떻게 표현할 수 있을까? 우선 적어도 연속이어야 한다.$$\lim_{X\to P} f(X) = \lambda$$이때, $X$가 어느 경로를 따라 $P$로 가더라도 $f(X)$가 $\lambda$가 되어야 한다. 예를 들어 $f(x, y) = xy$는 $(0, 0)$에서 연속이다. 하지만 아래의 예를 보자.$$f(x,y) = \begin{cases}\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0, 0) \\0 & (x,y) = (0,0)\end{cases}$$$y=0$으로..

본 글의 내용 대부분은 교양을 위한 대학수학 1(김성기 외, 교우사)에서 가져왔습니다.  미분 가능한 함수 $f(x)$가 주어져있을 때, $x = 0$ 근방에서 $f(x)$와 "가장 가까운" 1차 함수는 접선이다. $$p_1(x) = f(0) + f'(0) x$$ 여기서 두 함수가 "가깝다"는 것은, 적어도 $x=0$ 근방에서는 $p_1(x)$로 $f(x)$를 잘 표현할 수 있다는 뜻이다. 혹은 $f(x)$ 대신 $p_1(x)$를 써도 어느 정도는 무방하다고 말할 수도 있을 것이다. 이것을 수학적으로는 두 함수의 차이를 이용해서 표현할 수 있다. $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-p_1(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} - f'(0) = 0$$..

제가 수포자였는데 수학을 좀 공부하려는데요. 기초가 아주 없는데 중학교 수학부터 보면 될까요?꽤 자주 듣는 질문이다. 결론부터 말하겠다. 그렇게 말한 사람 중에 수학 공부 진짜로 한 사람은 단 한 명도 못봤다. 그나마 비슷했던 사례가 딱 하나 있긴 하다. 고등학교 때 수포자였다가 친구가 멱살잡고 중학교 수학부터 가르쳐서 수직상승한 지인의 경우, 그 외에는 단 한 명도 없다.  기초가 약하니까 중학교 수학부터? 안 될 수밖에 없다. 구조적인 문제 때문이다.첫째, 그런 방식으로는 꾸준히 할 수 없다.공부가 본업인 고등학생이나 교수라면 모를까(초중학생의 본업은 노는 거지 공부가 아니다), 직장인이 일 마치고 집에 와서 수학 공부를 한다? 지속 불가능하다. 지겹기 때문이다. 왜 지겨울까? 재미도 없고 목표도 뚜..

얼마 전 계승혁 교수님의 집합론 영상을 끝까지 봤다. 마지막 챕터가 선택공리, 서수, 기수에 대한 내용이었는데, 서수와 기수를 먼저 이용해놓고는 막상 정의는 마지막에 가서 하는 것이 좀 의아했다. 예를 들어 전단사함수가 존재하는 두 집합 $X$와 $Y$는 대등하다(equipotent)고 말하며, 아래와 같이 쓰면서, $$X \approx Y \Leftrightarrow \mathrm{card}(X) = \mathrm{card}(Y)$$ "$\mathrm{card}(X)$"를 $X$의 기수라 부른다"고 적혀있다. 만족스럽지 않은 설명이라고 생각했는데, 정의를 보니까 왜 정의를 나중에 설명하는지 납득이 됐다. 솔직히 이 글을 쓰는 지금도 이해했다고는 말 못하겠는데, 감은 온 것 같아서 기록을 남겨둔다.  두..

Thm. Every vector space has a basis. (even in the case of infinite dimension)  proof) Let $V$ be a vector space other than $\{0\}$. Pick a vector $x \neq 0$ from $V$. Consider the set $X = \{S \subseteq V | x \in S, S$ is linearly independent$\}.$ Then $(X, \subseteq)$ is an ordered set. Obviously $X$ is nonempty because $\{x\}\in X$. By Hausdorff maximal principle (see below), $X$ has a maximal..

수학을 공부하다 보면 신기한 것들을 많이 본다. 신기한 공식이기도 하고, 개념이기도 하고, 세계관이기도 하다.그 중 몇 개를 나만의 위시리스트로 만들어두었다. 언젠가 꼭 알고 싶은 것들이다.  1. 행렬식의 대수학적 정의 이해하기 (해결)• 이해했다(고 생각한다.)• 수학하는 만화의 선형대수학 번외편 - 넓이 이야기에서 도움을 많이 받았다.  2. 5차 이상 방정식의 불가해성 이해하기 (갈루아 이론 이해하기)• 수학의 즐거움 대수학 스터디에서 진행 중  3. 귀류법 및 공허참 이해하기• 고민의 흔적을 다른 글에 써놨지만 여전히 오리무중  4. 테일러 전개, 수렴반경, 해석적 함수 이해하기• 김홍종 교수님 책에서 딱 가려준 부분을 긁어주시는 듯 하여 보는 중  5. 복소해석적 함수 이해하기• 수학의 즐거움..