게으른맽랩 lazy matlab

이 글 대부분은 교양을 위한 대학수학 2(김성기 외, 교우사)의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 다변수 함수 $f(X)$의 증감 여부, 증감속도(도함수의 크기)는 방향에 따라 달라진다. 임의의 방향으로의 기울기를 어떻게 표현할 수 있을까? 우선 적어도 연속이어야 한다.$$\lim_{X\to P} f(X) = \lambda$$이때, $X$가 어느 경로를 따라 $P$로 가더라도 $f(X)$가 $\lambda$가 되어야 한다. 예를 들어 $f(x, y) = xy$는 $(0, 0)$에서 연속이다. 하지만 아래의 예를 보자.$$f(x,y) = \begin{cases}\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0, 0) \\0 & (x,y) = (0,0)\end{cases}$$$y=0$으로..

본 글의 내용 대부분은 교양을 위한 대학수학 1(김성기 외, 교우사)에서 가져왔습니다.  미분 가능한 함수 $f(x)$가 주어져있을 때, $x = 0$ 근방에서 $f(x)$와 "가장 가까운" 1차 함수는 접선이다. $$p_1(x) = f(0) + f'(0) x$$ 여기서 두 함수가 "가깝다"는 것은, 적어도 $x=0$ 근방에서는 $p_1(x)$로 $f(x)$를 잘 표현할 수 있다는 뜻이다. 혹은 $f(x)$ 대신 $p_1(x)$를 써도 어느 정도는 무방하다고 말할 수도 있을 것이다. 이것을 수학적으로는 두 함수의 차이를 이용해서 표현할 수 있다. $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-p_1(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} - f'(0) = 0$$..

제가 수포자였는데 수학을 좀 공부하려는데요. 기초가 아주 없는데 중학교 수학부터 보면 될까요?꽤 자주 듣는 질문이다. 결론부터 말하겠다. 그렇게 말한 사람 중에 수학 공부 진짜로 한 사람은 단 한 명도 못봤다. 그나마 비슷했던 사례가 딱 하나 있긴 하다. 고등학교 때 수포자였다가 친구가 멱살잡고 중학교 수학부터 가르쳐서 수직상승한 지인의 경우, 그 외에는 단 한 명도 없다.  기초가 약하니까 중학교 수학부터? 안 될 수밖에 없다. 구조적인 문제 때문이다.첫째, 그런 방식으로는 꾸준히 할 수 없다.공부가 본업인 고등학생이나 교수라면 모를까(초중학생의 본업은 노는 거지 공부가 아니다), 직장인이 일 마치고 집에 와서 수학 공부를 한다? 지속 불가능하다. 지겹기 때문이다. 왜 지겨울까? 재미도 없고 목표도 뚜..

얼마 전 계승혁 교수님의 집합론 영상을 끝까지 봤다. 마지막 챕터가 선택공리, 서수, 기수에 대한 내용이었는데, 서수와 기수를 먼저 이용해놓고는 막상 정의는 마지막에 가서 하는 것이 좀 의아했다. 예를 들어 전단사함수가 존재하는 두 집합 $X$와 $Y$는 대등하다(equipotent)고 말하며, 아래와 같이 쓰면서, $$X \approx Y \Leftrightarrow \mathrm{card}(X) = \mathrm{card}(Y)$$ "$\mathrm{card}(X)$"를 $X$의 기수라 부른다"고 적혀있다. 만족스럽지 않은 설명이라고 생각했는데, 정의를 보니까 왜 정의를 나중에 설명하는지 납득이 됐다. 솔직히 이 글을 쓰는 지금도 이해했다고는 말 못하겠는데, 감은 온 것 같아서 기록을 남겨둔다.  두..

Thm. Every vector space has a basis. (even in the case of infinite dimension)  proof) Let $V$ be a vector space other than $\{0\}$. Pick a vector $x \neq 0$ from $V$. Consider the set $X = \{S \subseteq V | x \in S, S$ is linearly independent$\}.$ Then $(X, \subseteq)$ is an ordered set. Obviously $X$ is nonempty because $\{x\}\in X$. By Hausdorff maximal principle (see below), $X$ has a maximal..

수학을 공부하다 보면 신기한 것들을 많이 본다. 신기한 공식이기도 하고, 개념이기도 하고, 세계관이기도 하다.그 중 몇 개를 나만의 위시리스트로 만들어두었다. 언젠가 꼭 알고 싶은 것들이다.  1. 행렬식의 대수학적 정의 이해하기 (해결)• 이해했다(고 생각한다.)• 수학하는 만화의 선형대수학 번외편 - 넓이 이야기에서 도움을 많이 받았다.  2. 5차 이상 방정식의 불가해성 이해하기 (갈루아 이론 이해하기)• 수학의 즐거움 대수학 스터디에서 진행 중  3. 귀류법 및 공허참 이해하기• 고민의 흔적을 다른 글에 써놨지만 여전히 오리무중  4. 테일러 전개, 수렴반경, 해석적 함수 이해하기• 김홍종 교수님 책에서 딱 가려준 부분을 긁어주시는 듯 하여 보는 중  5. 복소해석적 함수 이해하기• 수학의 즐거움..

저는 수학의 즐거움에서 사람들과 수학 공부를 하고 있습니다. 수학 공부를 하다 보면 같은 내용도 사람마다 다르게 설명하는 흥미로운 순간들이 옵니다. 그리고 처음 만나는 개념은 레퍼런스를 찾아보고 다양한 설명을 보면서 정체를 파악하기도 합니다. 수학 공부 자료를 한 곳에 모아두고자 이 글을 작성합니다. 이 글의 목록은 지속적으로 업데이트 됩니다.  1. 유튜브 채널, 유튜브 playlist Mathemaniac MathemaniacHi, I am Trevor. This channel discusses maths (or physics) concepts that I am passionate about, and tackles them in a novel perspective. For example, most p..

사놓고 귀찮아서(...) 안 읽고 있던 수학귀신 책을 읽었다. 그냥 뭐 어린이 책이겠거니~하고 읽었으나 의외로 재밌는 내용들이 있었다. 몇 가지 기록으로 남겨두고 싶은 것들을 적어둔다.  1. 임의의 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합이다. (증명) 몇 가지 예시들:\begin{align}51 &= 15 + 36\\83 &= 10 + 28 + 45\\12 &= 1 + 1 + 10\\\end{align} 우선 $8n+3$ 꼴의 자연수는 항상 3개의 홀수 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.[1][2] 증명[3]은 너무 어려워서 이해를 포기했다(...). 이것을 받아들이면, $8n+3$은 아래와 같이 쓸 수 있다. \begin{align}8n+3 &= (2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2 \\&..

2변수 함수의 극값의 2계도함수 판정법에 대해 아주 재미없는 글을 쓴 적이 있다. Positive-definite matrix니 eigenvalue니 하는 것들을 죄다 가져와서 설명했었는데, 그럴 필요가 없음을 오늘 깨달았다. 이 글의 아이디어는 칸 아카데미에서 가져왔으나, 논증 과정 일부는 변형했다.  • 2변수 함수의 점 $(x_0, y_0)$에서의 quadratic approximation은 아래와 같다. \begin{align}f(x, y) \cong f(x_0, y_0) &+ (x-x_0, y-y_0) \nabla f(x_0, y_0) + \\& \frac{1}{2} (x-x_0, y-y_0) H_f(x_0, y_0) (x-x_0, y-y_0)^T\end{align} • 여기서 $H_f$는 He..

아래는 영상의 내용을 요약한 것입니다.  지식의 양이 아니라 나만의 관점이 중요하다• 지식을 많이 흡수했다고 수학을 잘하는 게 아니다.• 많이 아는 것은 수학자가 되기 위한 충분조건도 필요조건도 아니다.• 수학자로서 자질이 있다면 오히려 공부 과정에서 불편한 점이 많아야 한다.• 고등학교 때까지의 책들은 일방적으로 지식을 받아들이게 해놨다.• ‘왜’라는 질문을 하기 어렵게 해놨다.• 행렬은 왜 정의하느냐, 행렬의 곱셈이 왜 필요하냐, 미적분학은 왜 배우냐, 실수는 무엇이냐.• 이런 것들에 대해서 파고들다가 불편한 점과 질문이 생겨야 한다.• 그 질문에 답하는 과정에서 객관적인 체계들이 주관적인 체계로 승화되어야 한다.• 예를 들어, 해석학 개론에서 중간값 정리를 당연하게 받아들이고 넘어갔다면 • 수학적 ..