다변수 함수의 미분 가능성

 

 

이 글 대부분은 교양을 위한 대학수학 2(김성기 외, 교우사)의 내용을 그대로 옮긴 것입니다.

 

---

다변수 함수 $f(X)$의 증감 여부, 증감속도(도함수의 크기)는 방향에 따라 달라진다. 임의의 방향으로의 기울기를 어떻게 표현할 수 있을까? 우선 적어도 연속이어야 한다.

$$\lim_{X\to P} f(X) = \lambda$$

이때, $X$가 어느 경로를 따라 $P$로 가더라도 $f(X)$가 $\lambda$가 되어야 한다. 예를 들어 $f(x, y) = xy$는 $(0, 0)$에서 연속이다. 하지만 아래의 예를 보자.

$$f(x,y) = \begin{cases}
\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0, 0) \\
0 & (x,y) = (0,0)
\end{cases}
$$

$y=0$으로 고정하면 $\lim_{x\to 0} f(x, 0) = 1$이다.
$x=0$으로 고정하면 $\lim_{y\to 0} f(0, y) = -1$이다.
$y = x$로 고정하면 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$이다.

$(0,0)$으로 접근하는 경로에 따라 극한값이 달라지므로 연속이 아니다.

 

 

[xx, yy] = meshgrid(linspace(-1, 1, 201));
zz = (xx.^2 - yy.^2)./(xx.^2 + yy.^2);
%zz(101, 101) = 0;

figure,
subplot(3, 2, [1, 3, 5]), hold on,
surf(xx, yy, zz), shading flat
plot3(xx(101, :), yy(101, :), zz(101, :), 'r')
plot3(xx(:, 101), yy(:, 101), zz(:, 101), 'g')
plot3(diag(xx), diag(yy), diag(zz), 'b')
view(3)

subplot(3, 2, 2), plot(xx(101, :), zz(101, :)), title('f(x, 0)')
subplot(3, 2, 4), plot(yy(:, 101), zz(:, 101)), title('f(0, y)')
subplot(3, 2, 6), plot(diag(xx), diag(zz)), title('f(x, x)')

 

---

1변수 함수의 경우, 어떤 점 $x$에서 미분 가능하려면 그 점에서 1차 근사식이 존재해야 한다. 즉, $y = f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능하다면 아래의 극한이 존재한다.

$$f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

따라서

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]}{x-a} = 0$$

이므로, $x=a$에서 $y = f(x)$의 1차 근사식은 아래와 같다.

$$y = f'(a) (x-a) + f(a)$$

이 식을 $x=a$에서의 $f(x)$의 접선이라고 부른다.

 

---

다변수 함수의 경우, 특정 방향으로 도함수가 존재한다고 하여 미분 가능하다는 보장이 없다. 이미 위에서 그런 함수의 예를 보았다. 대신 1변수 함수의 미분 가능성을 흉내내어, 접평면의 존재성으로 말하면 될 것 같다. $n$변수 함수의 일차식은 어떤 벡터 $A\in\mathbb{R}^n$에 대해 $A\cdot X$의 꼴로 쓸 수 있다. 따라서 1차 근사식은 아래의 형태일 것이다.

$$A\cdot (X-P) + f(P)$$

$n$변수 함수 $f(X)$가 $X=P$에서 미분 가능한 것은, 아래를 만족하는 벡터 $A$가 존재함과 동치이다.

$$\lim_{X\to P} \frac{|f(X) - (A\cdot (X-P) + f(P))|}{\lVert X-P\rVert} = 0$$

1변수 함수의 미분 가능성과 비교해보면, 아래의 함수가 접평면의 함수임을 알 수 있다.

$$A\cdot (X-P) + f(P)$$

 

---

2변수 함수의 경우, $(a, b)$에서 미분 가능하다면 $(a, b)$에서 접평면은 아래와 같다.

$$ z = \alpha(x-a) + \beta (y-b) + f(a, b) $$

미분 가능성으로부터

$$\lim_{(x,y)\to (a,b)} \frac{|f(x,y) - [\alpha(x-a) + \beta(y-b) + f(a,b)]|}{\lVert (x,y) - (a,b)\rVert} = 0$$

$(x,y)$가 어느 경로를 따라서 $(a, b)$로 가든 위 식이 성립해야 한다. $y=b$를 따라간다면, 아래를 만족해야 한다.

$$\lim_{x\to a} \frac{|f(x,b) - [\alpha(x-a) + f(a,b)]|}{\vert x - a\vert} = 0$$

$f(x,b)$는 1변수 함수이므로, $h(x) = f(x,b)$로 두면

$$\lim_{x\to a} \frac{h(x) - [\alpha(x-a) + h(a)]}{\vert x - a\vert} = 0$$

또는

$$\lim_{x\to a} \frac{h(x) -h(a)}{x - a} = \alpha$$

를 만족해야 하는데, 이것은 $f(x,y)$의 $x$ 방향으로의 도함수의 정의임을 알 수 있다. 동일한 방식으로 $\beta$는 $f(x,y)$의 $y$ 방향으로의 도함수이다. 이러한 도함수를 구하는 것을 편미분(partial derivative)이라고 부르고

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b), \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$

또는

$$D_x f(a,b), D_y f(a,b)$$

라고 쓴다. 이제 2변수 함수 $f(x,y)$가 점 $(a,b)$에서 미분 가능하다면, $(a,b)$에서 임의의 방향으로의 기울기는 $x$ 방향과 $y$ 방향으로의 도함수 2개만 있으면 계산할 수 있다. $x$와 $y$ 방향으로의 도함수는 함수의 모양을 결정하는 중요한 정보이므로, 특별히 이름이 있다. 아래 벡터를 함수 $f(x,y)$의 gradient라고 부른다.

$$ \nabla f(x,y) = \left( D_x f(x,y), D_y f(x,y) \right)$$

$f(x,y)$가 $(a,b)$에서 미분 가능하다면 $(a,b)$에서 아래와 같은 접평면을 그릴 수 있다.

$$ z = D_x f(a,b) (x-a) + D_y f(a,b) (y-b) + f(a, b) $$

$f(x,y)$의 임의의 방향 $d$로의 기울기는 $d$와 gradient의 내적이다. 이것을 방향도함수(direcitonal derivative)라고 부르며 아래와 같이 표기한다.

$$ \nabla_d f(a,b) = d \cdot \nabla f(a,b)$$

이것을 $n$변수로 일반화하면, 점 $X=P$에서 $f(X)$의 접평면(1차 근사식)은 아래와 같다.

$$\nabla f(P) \cdot (X-P) + f(P)$$

 

---

주의할 것이 있다. $X=P$에서 $\nabla f(P)$가 계산 가능하다고 하여 $f(X)$가 $X=P$에서 미분 가능함을 보장하지는 않는다. 예를 들어 아래 함수는

$$f(x,y) = \begin{cases}
1 & xy = 0 \\
0 & xy \neq 0
\end{cases} $$

$(0,0)$에서의 gradient가 $(0,0)$이지만 미분 가능은 커녕 연속하지도 않다.

* 이번 글에서는 다변수 함수의 미분 가능성에 대해 알아보았다.

끗