벡터가 뭐지?
(30대 이상이라면) 고등학교 시절 또는 (20대 이하라면) 대학교 1학년 때 수학공부를 열심히 했다면 [벡터]라는 단어를 듣자마자 떠오르는 이미지가 있습니다. 바로 화살표입니다. 그리고 너무나 자연스럽고 직관적이게 배우는 여러 성질들이 있습니다. - 2차원 벡터를 $(x, y)$로 표기하고 3차원 벡터를 $(x, y, z)$로 표기한다. - 벡터의 합은 각 원소별로 더한다. - 벡터에 스칼라를 곱하면 각 원소에 스칼라를 곱하면 된다. - 벡터에 -1을 곱하면 크기가 같고 방향이 반대인 벡터가 된다. - 벡터 $\vec{a}$에 -1을 곱한 $-\vec{a}$는 $\vec{a}$와 더하면 $\vec{0}$이 된다. 이걸 영벡터라고 부른다. - 벡터에 영벡터를 더해도 벡터는 그대로이다. 굉장히 자연스럽고,..
공허참이란?
초간단요약 두 명제 A와 B에 대해서, 합성명제인 "A이면 B이다"는 다음과 동치이다."A를 만족하는 진리집합은 B를 만족하는 진리집합의 부분집합이다." 예: $0$A = \{x | 0 그럼 "A이면 B이다"에서 A가 거짓이면 어떻게 될까?예: $1 위 방법을 이용한다면, $A = \{x | 1 어떤 가치가 있는 논증인지는 잘 모르겠다. 논리적 일관성을 위한 것인가 싶기도 하다. 추가로 고민해본 것들을 몇 가지 적어본다. (24년 6월 16일) • 지금까지 잘못 생각한 것: $p \to q$에서 $p$가 거짓이면 $q$가 참이 된다고 생각해왔다.• 그거 아니다. $p$가 거짓일 때 참이 되는 것은 $p \to q$이다.• 다만, $p$가 항상 거짓일 때에는 납득이 되는데(예: $|x| • $p \to ..
[수학문제] |75-(5627)^(1/2)|와 |7-(341)^(1/3)| 중 어느 것이 더 클까?
계산기를 사용하지 말고 두 수의 크기를 비교해보세요! (풀이는 아래에...) 착안점은 $75^2 = 5625$이고 $7^3 = 343$이라는 점입니다. 각 값을 A, B로 쓰고 아래와 같이 표현하겠습니다. $A = \sqrt{75^2 + 2} - \sqrt{75^2}$ $B = \sqrt[3]{7^3} - \sqrt[3]{7^3-2}$ $f(x)=\sqrt{x}$라고 두면, $A = f(75^2+2) - f(75^2)$ 이고, 이 값을 그래프로 표현하면 아래와 같습니다. $[5625, 5627]$ 구간에서 $f(x)$의 기울기의 최대값은 $x = 5625$에서의 기울기입니다. 그리고 $f'(x) = {1 \over {2 \sqrt x}} $ 이므로, A는 아래 부등식을 만족합니다. $A < (5627-5..
1/√(1-x^2)의 적분 = pi/2
아래 부정적분은, $$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ $x=\sin {u}$로 치환하여 풀 수 있다. $$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos u \: du}{\cos u} = \frac{\pi}{2}$$ 왜 뜬금없이 원주율이 나올까? $P(P_x, P_y)$: $y=\sqrt{1-x^2}$ 위의 한 점$A(0, P_y)$, $P$에서 $y$축에 내린 수선의 발$B(P_x, 0)$, $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발$C(P_x, 1/\sqrt{1-P_x^2})$: $\overline{BP}$의 연장선이 $y=1/\sqrt{1-x^2}$와 만나는 점 각 선분의 길이는 아래와 같다...