[수학문제] |75-(5627)^(1/2)|와 |7-(341)^(1/3)| 중 어느 것이 더 클까?

계산기를 사용하지 말고 두 수의 크기를 비교해보세요!

(풀이는 아래에...)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

착안점은 ${75}^2=5625$이고 $7^3=343$이라는 점입니다.

 

각 값을 A, B로 쓰고 아래와 같이 표현하겠습니다.

 

$A=\sqrt{{75}^2+2}-\sqrt{{75}^2}$

$B=\sqrt[3]{7^3}-\sqrt[3]{7^3-2}$

 

$f(x)=\sqrt{x}$라고 두면,

$A=f({75}^2+2)-f({75}^2)$

 

이고, 이 값을 그래프로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

$[5625,5627]$ 구간에서 $f(x)$의 기울기의 최대값은 $x=5625$에서의 기울기입니다. 그리고

 

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

이므로, A는 아래 부등식을 만족합니다.

 

$A<(5627-5625)f^{\prime }(5625)=2\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{5625}}=\frac{2}{150}$

 

비슷한 방식으로 $g(x)=\sqrt[3]{x}$로 두면,

 

$B=g(7^3)-g(7^3-2)$

 

이고, 이 값은 아래 그림으로 표현됩니다.

 

$[341,343]$ 구간에서 $g(x)$의 기울기의 최소값은 $x=343$에서의 기울기입니다. 그리고

 

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{3{\sqrt[3]{x}}^2}$

 

이므로, B는 아래 부등식을 만족합니다.

 

$B>(343-341)g^{\prime }(343)=2\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{{343}^2}}=\frac{2}{147}$

 

따라서 종합해보면,

 

$A<\frac{2}{150}<\frac{2}{147}<B$

 

로부터 $B>A$임을 알 수 있습니다.