[수학문제] |75-(5627)^(1/2)|와 |7-(341)^(1/3)| 중 어느 것이 더 클까?

계산기를 사용하지 말고 두 수의 크기를 비교해보세요!

(풀이는 아래에...)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

착안점은 $75^2 = 5625$이고 $7^3 = 343$이라는 점입니다.

 

각 값을 A, B로 쓰고 아래와 같이 표현하겠습니다.

 

$A = \sqrt{75^2 + 2} - \sqrt{75^2}$

$B = \sqrt[3]{7^3} - \sqrt[3]{7^3-2}$

 

$f(x)=\sqrt{x}$라고 두면,

$A = f(75^2+2) - f(75^2)$

 

이고, 이 값을 그래프로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

$[5625, 5627]$ 구간에서 $f(x)$의 기울기의 최대값은 $x = 5625$에서의 기울기입니다. 그리고

 

$f'(x) = {1 \over {2 \sqrt x}} $

이므로, A는 아래 부등식을 만족합니다.

 

$A < (5627-5625)f'(5625) = 2{1 \over 2} {1 \over \sqrt{5625}} = {2 \over 150}$

 

비슷한 방식으로 $g(x) = \sqrt[3]x$로 두면,

 

$B = g(7^3) - g(7^3-2)$

 

이고, 이 값은 아래 그림으로 표현됩니다.

 

$[341, 343]$ 구간에서 $g(x)$의 기울기의 최소값은 $x = 343$에서의 기울기입니다. 그리고

 

$g'(x) = {1 \over {3 \sqrt[3]x^2}} $

 

이므로, B는 아래 부등식을 만족합니다.

 

$B > (343-341)g'(343) = 2{1 \over 3} {1 \over \sqrt[3]{343^2}} = {2 \over 147}$

 

따라서 종합해보면,

 

$A < {2 \over 150} < {2 \over 147} < B$

 

로부터 $B > A$임을 알 수 있습니다.