벡터가 뭐지?

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벡터가 뭐지?

게으른 the lazy 2022. 11. 23. 03:18

(30대 이상이라면) 고등학교 시절 또는 (20대 이하라면) 대학교 1학년 때 수학공부를 열심히 했다면 [벡터]라는 단어를 듣자마자 떠오르는 이미지가 있습니다. 바로 화살표입니다.

그리고 너무나 자연스럽고 직관적이게 배우는 여러 성질들이 있습니다.

- 2차원 벡터를 $(x, y) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 로 표기하고 3차원 벡터를 $(x, y, z) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 로 표기한다.

- 벡터의 합은 각 원소별로 더한다.

- 벡터에 스칼라를 곱하면 각 원소에 스칼라를 곱하면 된다.

- 벡터에 -1을 곱하면 크기가 같고 방향이 반대인 벡터가 된다.

- 벡터 $\to a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>a</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow></math>$ 에 -1을 곱한 $- \to a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>a</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow></math>$ 는 $\to a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>a</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow></math>$ 와 더하면 $\to 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mn>0</mn><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow></math>$ 이 된다. 이걸 영벡터라고 부른다.

- 벡터에 영벡터를 더해도 벡터는 그대로이다.

굉장히 자연스럽고, 그럴듯하고, 어려울 것이 없는 개념들입니다. 그런데 정말 그럴까요?

수학자들은 세계관을 확장하길 좋아합니다. 방금 제가 말한 벡터의 성질들을 목록으로 만들어보죠.

- 두 벡터는 더할 수 있다.

- 벡터에 스칼라배를 할 수 있다.

- 임의의 벡터에는 -1을 곱한 벡터가 존재한다.

- 임의의 벡터는 자신에 -1을 곱한 벡터와 더하면 영벡터가 된다.

- 임의의 벡터에 영벡터를 더해도 벡터는 변하지 않는다.

왜 했던 말을 반복하냐고요? 다음 집합을 생각해봅시다.

$P 2 = {f | f = a x 2 + b x + c w h e r e a, b, c \in R} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo fence="false" stretchy="false">{</mo><mi>f</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>w</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>\in</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="double-struck">R</mi></mrow><mo fence="false" stretchy="false">}</mo></math>$

복잡하게 써놓긴 했는데, 그냥 계수가 모두 실수인 2차 함수의 집합입니다. 이 집합의 원소 아무거나 2개를 꺼내서 더할 수 있습니다. 그리고 그 합은 여전히 $P 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub></math>$ 의 원소일겁니다. 이런 식으로 위에 썼던 것들을 하나하나 확인해보죠.

- 두 2차 함수의 합을 계산할 수 있고, 합도 2차 함수입니다.

- 2차 함수에 스칼라배를 할 수 있고, 그 결과도 2차 함수입니다.

- 임의의 2차 함수에 -1을 곱한 2차 함수를 생각할 수 있고, 그 결과도 2차 함수입니다.

- 임의의 2차 함수에 -1을 곱한 것과 원래 함수를 더하면 0함수가 됩니다. (숫자 0이 아니고 영함수입니다.)

- 임의의 2차 함수에 0함수를 더하면 함수는 그대로입니다.

어떤가요? 벡터의 성질을 모두 가지고 있지 않나요? 그렇다면 우리는 2차 함수를 벡터라고 부르지 못할 이유가 없습니다.이제 벡터와 벡터공간을 정의해보죠.

어떤 집합 $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 원소들이 다음을 만족할 때, $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 를 벡터공간이라고 부른다. $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 원소를 벡터라고 부른다.

1) 덧셈에 대한 교환법칙: $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 두 원소 $x, y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></math>$ 에 대해 $x + y = y + x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>x</mi></math>$

2) 덧셈에 대한 결합법칙: $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 세 원소 $x, y, z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi></math>$ 에 대해 $(x + y) + z = x + (y + z) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$

3) 덧셈에 대한 항등원: $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해, $x + 0 = 0 + x = x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></math>$ 인 $0 \in V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>\in</mo><mi>V</mi></math>$ 가 존재

4) 덧셈에 대한 역원: $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해, $x + y = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 을 만족시키는 $y \in V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>\in</mo><mi>V</mi></math>$ 가 존재

5) 곱셈에 대한 항등원: $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해, $1 x = x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></math>$ (여기서 1은 벡터가 아닌 그냥 수)

6) 임의의 두 수 $a, b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math>$ 와 $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해서, $(a b) x = a (b x) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$

7) 스칼라 분배법칙: 임의의 두 수 $a, b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math>$ 와 $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해, $a (x + y) = a x + a y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>y</mi></math>$

8) 벡터 분배법칙: 임의의 두 수 $a, b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math>$ 와 $V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>$ 의 임의의 원소 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 에 대해, $(a + b) x = a x + b x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi></math>$

교환법칙과 분배법칙 등 위에서 ~~귀찮아서~~ 말하지 않았던 몇 가지 항목을 추가하였지만, 큰 틀에서는 우리가 익히 알고 있던 화살표 벡터와 잘 부합합니다. 그리고 놀랍게도 2차 함수의 집합에도 하나하나 적용할 수 있습니다. (증명은 숙제) 따라서 2차 함수도 벡터가 될 수 있습니다.

여기까지 따라오셨다면 자연스럽게 궁금해지는 포인트가 있을 겁니다. 비슷한 방식으로 벡터로 볼 수 있는 대상들이 또 있을까? 당연히 많습니다. 아래는 모두 벡터공간입니다.

- 임의의 실수 3개 $x, y, z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi></math>$ 로 구성된 순서쌍 $(x, y, z) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 의 집합

- 원소가 모두 실수인 2x2 행렬의 집합

- 모든 실함수의 집합

- 실수 집합 (!)

또 재밌는 벡터공간을 알고 계시다면 댓글로 알려주세요.

함수가 벡터라는 것이 많이 혼란스러울 수 있습니다. 여태껏 벡터는 화살표로 그려왔는데, 그럼 함수도 화살표가 될 수 있나? 라는 생각이 들지도 모르겠습니다. 이제 벡터=화살표라는 생각을 버려야 합니다. 위에 적었던 8가지 성질들을 만족하기만 하면 우리는 그 집합을 벡터공간이라고 부를 것이고, 그 공간의 원소는 벡터라고 부를 겁니다.

물론 그럼에도 불구하고 함수를 벡터공간의 원소로 사용할 때 화살표를 그리기도 합니다. 특히 함수의 내적과 함수의 직교성을 말할 때 우리에게 익숙한 개념을 차용하기 위해 화살표로 그릴 때가 있습니다. 어디까지나 편의를 위한 것이지 함수는 화살표가 아닙니다. 벡터일 뿐이죠.

좀 억지스럽긴 하지만, 비유를 하나 해보겠습니다. [의자]라는 단어를 들었을 때 떠오르는 이미지는 대충 이렇습니다.

여러분은 의자를 어떻게 정의할 건가요?

- 다리가 4개이다.

- 등받이가 있다.

- 앉을 수 있다.

이 정도면 될까요? 그럼 이건요?

음... 다리가 2개군요. 생각해보니 바퀴 달린 의자는 다리를 몇 개라고 해야 할지도 모르겠습니다. 그럼 다리 개수는 빼죠. 등받이는 있어야 하나요?

의자군요. 등받이도 빼야겠습니다. 그럼 이건요?

누구나 한번쯤은 엉덩이를 걸쳐보았을 그것. 볼라드라고 부르는 물건입니다. 의자일까요 아닐까요? 적어도 신호를 기다리는 몇 십초 동안은 훌륭한 의자 역할을 하지 않나요? 의자라고 부르지 말아야 할 이유가 없을 것 같습니다. 국어사전에서 의자를 찾아보니 뭐라고 나오냐면,

사람이 걸터앉는 데 쓰는 기구

라고 나옵니다. 즉, 걸터앉을 수 있으면 의자라고 부를 수 있습니다.

왜 갑자기 의자냐고요? 걸터앉을 수만 있으면 의자라고 부를 수 있다면, 벡터공간의 성질을 만족하기만 하면 벡터라고 부를 수 있지 않냐는 얘기를 하고 싶었던 겁니다. 써놓고 보니 정말 실없는 소리네요.

혹시 잘못된 내용이 있다면 댓글로 알려주세요.

참고한 곳들

jjychn's Math Storehouse

단수이낭만상점

생새우초밥집-벡터공간 (특히 벡터공간이 중요한 성질에 대한 증명을 참고할 것. 당연한 것은 아무것도 없다!)

생새우초밥집-여러가지 함수공간

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