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(30대 이상이라면) 고등학교 시절 또는 (20대 이하라면) 대학교 1학년 때 수학공부를 열심히 했다면 [벡터]라는 단어를 듣자마자 떠오르는 이미지가 있습니다. 바로 화살표입니다.
그리고 너무나 자연스럽고 직관적이게 배우는 여러 성질들이 있습니다.
- 2차원 벡터를 $(x, y)$로 표기하고 3차원 벡터를 $(x, y, z)$로 표기한다.
- 벡터의 합은 각 원소별로 더한다.
- 벡터에 스칼라를 곱하면 각 원소에 스칼라를 곱하면 된다.
- 벡터에 -1을 곱하면 크기가 같고 방향이 반대인 벡터가 된다.
- 벡터 $\vec{a}$에 -1을 곱한 $-\vec{a}$는 $\vec{a}$와 더하면 $\vec{0}$이 된다. 이걸 영벡터라고 부른다.
- 벡터에 영벡터를 더해도 벡터는 그대로이다.
굉장히 자연스럽고, 그럴듯하고, 어려울 것이 없는 개념들입니다. 그런데 정말 그럴까요?
수학자들은 세계관을 확장하길 좋아합니다. 방금 제가 말한 벡터의 성질들을 목록으로 만들어보죠.
- 두 벡터는 더할 수 있다.
- 벡터에 스칼라배를 할 수 있다.
- 임의의 벡터에는 -1을 곱한 벡터가 존재한다.
- 임의의 벡터는 자신에 -1을 곱한 벡터와 더하면 영벡터가 된다.
- 임의의 벡터에 영벡터를 더해도 벡터는 변하지 않는다.
왜 했던 말을 반복하냐고요? 다음 집합을 생각해봅시다.
$P_2 = \{f | f = ax^2 + bx + c \quad where \quad a, b, c \in \mathbb{R}\}$
복잡하게 써놓긴 했는데, 그냥 계수가 모두 실수인 2차 함수의 집합입니다. 이 집합의 원소 아무거나 2개를 꺼내서 더할 수 있습니다. 그리고 그 합은 여전히 $P_2$의 원소일겁니다. 이런 식으로 위에 썼던 것들을 하나하나 확인해보죠.
- 두 2차 함수의 합을 계산할 수 있고, 합도 2차 함수입니다.
- 2차 함수에 스칼라배를 할 수 있고, 그 결과도 2차 함수입니다.
- 임의의 2차 함수에 -1을 곱한 2차 함수를 생각할 수 있고, 그 결과도 2차 함수입니다.
- 임의의 2차 함수에 -1을 곱한 것과 원래 함수를 더하면 0함수가 됩니다. (숫자 0이 아니고 영함수입니다.)
- 임의의 2차 함수에 0함수를 더하면 함수는 그대로입니다.
어떤가요? 벡터의 성질을 모두 가지고 있지 않나요? 그렇다면 우리는 2차 함수를 벡터라고 부르지 못할 이유가 없습니다.이제 벡터와 벡터공간을 정의해보죠.
어떤 집합 $V$의 원소들이 다음을 만족할 때, $V$를 벡터공간이라고 부른다. $V$의 원소를 벡터라고 부른다.
1) 덧셈에 대한 교환법칙: $V$의 임의의 두 원소 $x, y$에 대해 $x+y = y+x$
2) 덧셈에 대한 결합법칙: $V$의 임의의 세 원소 $x, y, z$에 대해 $(x+y)+z = x+(y+z)$
3) 덧셈에 대한 항등원: $V$의 임의의 원소 $x$에 대해, $x+0 = 0+x = x$인 $0 \in V$가 존재
4) 덧셈에 대한 역원: $V$의 임의의 원소 $x$에 대해, $x+y=0$을 만족시키는 $y \in V$가 존재
5) 곱셈에 대한 항등원: $V$의 임의의 원소 $x$에 대해, $1x=x$ (여기서 1은 벡터가 아닌 그냥 수)
6) 임의의 두 수 $a, b$와 $V$의 임의의 원소 $x$에 대해서, $(ab)x = a(bx)$
7) 스칼라 분배법칙: 임의의 두 수 $a, b$와 $V$의 임의의 원소 $x$에 대해, $a(x+y) = ax+ay$
8) 벡터 분배법칙: 임의의 두 수 $a, b$와 $V$의 임의의 원소 $x$에 대해, $(a+b)x = ax + bx$
교환법칙과 분배법칙 등 위에서 귀찮아서 말하지 않았던 몇 가지 항목을 추가하였지만, 큰 틀에서는 우리가 익히 알고 있던 화살표 벡터와 잘 부합합니다. 그리고 놀랍게도 2차 함수의 집합에도 하나하나 적용할 수 있습니다. (증명은 숙제) 따라서 2차 함수도 벡터가 될 수 있습니다.
여기까지 따라오셨다면 자연스럽게 궁금해지는 포인트가 있을 겁니다. 비슷한 방식으로 벡터로 볼 수 있는 대상들이 또 있을까? 당연히 많습니다. 아래는 모두 벡터공간입니다.
- 임의의 실수 3개 $x, y, z$로 구성된 순서쌍 $(x, y, z)$의 집합
- 원소가 모두 실수인 2x2 행렬의 집합
- 모든 실함수의 집합
- 실수 집합 (!)
또 재밌는 벡터공간을 알고 계시다면 댓글로 알려주세요.
함수가 벡터라는 것이 많이 혼란스러울 수 있습니다. 여태껏 벡터는 화살표로 그려왔는데, 그럼 함수도 화살표가 될 수 있나? 라는 생각이 들지도 모르겠습니다. 이제 벡터=화살표라는 생각을 버려야 합니다. 위에 적었던 8가지 성질들을 만족하기만 하면 우리는 그 집합을 벡터공간이라고 부를 것이고, 그 공간의 원소는 벡터라고 부를 겁니다.
물론 그럼에도 불구하고 함수를 벡터공간의 원소로 사용할 때 화살표를 그리기도 합니다. 특히 함수의 내적과 함수의 직교성을 말할 때 우리에게 익숙한 개념을 차용하기 위해 화살표로 그릴 때가 있습니다. 어디까지나 편의를 위한 것이지 함수는 화살표가 아닙니다. 벡터일 뿐이죠.
좀 억지스럽긴 하지만, 비유를 하나 해보겠습니다. [의자]라는 단어를 들었을 때 떠오르는 이미지는 대충 이렇습니다.
여러분은 의자를 어떻게 정의할 건가요?
- 다리가 4개이다.
- 등받이가 있다.
- 앉을 수 있다.
이 정도면 될까요? 그럼 이건요?
음... 다리가 2개군요. 생각해보니 바퀴 달린 의자는 다리를 몇 개라고 해야 할지도 모르겠습니다. 그럼 다리 개수는 빼죠. 등받이는 있어야 하나요?
의자군요. 등받이도 빼야겠습니다. 그럼 이건요?
누구나 한번쯤은 엉덩이를 걸쳐보았을 그것. 볼라드라고 부르는 물건입니다. 의자일까요 아닐까요? 적어도 신호를 기다리는 몇 십초 동안은 훌륭한 의자 역할을 하지 않나요? 의자라고 부르지 말아야 할 이유가 없을 것 같습니다. 국어사전에서 의자를 찾아보니 뭐라고 나오냐면,
사람이 걸터앉는 데 쓰는 기구
라고 나옵니다. 즉, 걸터앉을 수 있으면 의자라고 부를 수 있습니다.
왜 갑자기 의자냐고요? 걸터앉을 수만 있으면 의자라고 부를 수 있다면, 벡터공간의 성질을 만족하기만 하면 벡터라고 부를 수 있지 않냐는 얘기를 하고 싶었던 겁니다. 써놓고 보니 정말 실없는 소리네요.
혹시 잘못된 내용이 있다면 댓글로 알려주세요.
참고한 곳들
생새우초밥집-벡터공간 (특히 벡터공간이 중요한 성질에 대한 증명을 참고할 것. 당연한 것은 아무것도 없다!)
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