미적분학 공부 중...

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• 미적분학 공부 도중 정리하고 싶은 것을 적어두는 공간입니다.

• 김홍종 교수님의 미적분학 1, 2권을 보고 있습니다.

• 필요하면 다른 책이나 인터넷도 참고합니다.

 

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• 아래 수열은 발산한다. (참고: cases 수식 쓰기)

 

$$a_n=\begin{cases} 
      n & n=짝수 \\
      1/n & n=홀수
   \end{cases}$$

 

• 당연히 발산하긴 하는데, 발산함을 formal하게 적을 수 있어야 한다.

 

• 실수열 $\{a_n\}$이 어떤 실수 $l$에 수렴함은 아래와 같이 쓴다.

 

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \vert a_n -l \vert < \epsilon$$

 

• 이것의 부정, 즉 발산은 위 문장의 부정형을 쓰면 된다.

 

$$\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, \vert a_n -l \vert \ge \epsilon$$

 

• 써놓고 보니 $l$이 없다.

• 수렴은 사실 아래와 같이 써야하는 것 같다.

 

$$\exists l \in \mathbb{R}, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \vert a_n -l \vert < \epsilon$$

 

• 이제 발산은 아래와 같이 적힌다.

 

$$\forall l \in \mathbb{R}, \exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, \vert a_n -l \vert \ge \epsilon$$

 

• 이 문장의 구조를 잘 보아야 하는데,

• 임의의 $l \in \mathbb{R}$에 대해 어떤 $\epsilon>0$이 존재하여 아래가 성립한다.

 

$$\forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N, \vert a_n -l \vert \ge \epsilon$$

 

• 어떤 $N$을 잡아도 $n>N$인 $n$이 존재하여, $\vert a_n -l \vert \ge \epsilon$이다.

• 즉, 어떤 $N$을 잡아도 $a_n$이 $l$의 $\epsilon$ 근방에 들어가지 못하는 $n>N$이 존재함을 말한다.

• 수렴의 정확히 반대 의미임을 알 수 있다.

 

$$a_n=\begin{cases} 
      n & n=짝수 \\
      1/n & n=홀수
   \end{cases}$$

 

• 위 수열의 경우 아무 $l$을 잡아도, 어떤 $\epsilon>0$이 존재해서,

• 임의의 $n$에 대해 그 이후의 항 중 적어도 하나는 $l$의 $\epsilon$ 근방에 들어가지 않는다.

• 다르게 표현하면, 임의의 $l$에 대해, 어떤 $\epsilon>0$이 존재해서,

• $l$의 $\epsilon$ 근방에 들어가지 못하는 항의 개수가 무한개가 있다.

• 수열이 수렴하려면 이러한 $\epsilon$이 존재하지 않아야 한다.

• 왜냐하면, 수열이 수렴하려면 언젠가부터는 모든 항이 임의의 작은 영역 안에 모두 들어가야 하기 때문이다.

• 따라서 위 수열은 발산한다.

 

참고한 곳

https://math.stackexchange.com/questions/545669/negating-the-definition-of-a-convergent-sequence-to-find-the-definition-of-a-div