유리수 가정으로 시작하지 않는 √2의 무리수 증명

 

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연분수를 이용한 증명

 

모든 유리수는 길이가 유한한 유한 연분수로 표현할 수 있다.

(참고: https://blog.naver.com/alwaysneoi/100140972630)

 

반대로 말하면, 유한 연분수로 표현될 수 없으면 - 즉 무한 연분수로 표현되는 수는 무리수이다. 그리고 $\sqrt{2}$는 무한 연분수이다.

(확인: https://www.cut-the-knot.org/proofs/SqContinuedFraction.shtml)

 

따라서 $\sqrt{2}$는 무리수이다.

 

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부등식을 이용한 증명

우선 다음은 자명하다.

 

$$1 < 2 < \frac{9}{4} $$

$$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$

 

$a$와 $b$가 $1<\frac{a}{b}<\frac{3}{2}$인 자연수라면 아래 식을 만족한다.

 

$$ \frac{a}{b} + \sqrt{2} \leq 3 $$

 

이제 $\sqrt{2}$와 $\frac{a}{b}$의 차이가 항상 0보다 큼을 보일 것이다. $2b^2$과 $a^2$은 소인수 분해 시 2의 지수가 다르므로 다른 자연수이다. 따라서

 

$$ \left|2b^2-a^2 \right| \geq 1$$

 

을 만족한다. 그리고

 

$$\begin{align}

\left|\sqrt{2} - \frac{a}{b}\right| &= \frac {\left|\sqrt{2} - \frac{a}{b}\right| b^2 \left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)}{b^2 \left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)}

\\
&= \frac{\left| 2b^2 - a^2 \right|}{b^2 \left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)}
\\
&\geq 

\frac{1}{b^2 \left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)}

\geq

\frac{1}{3b^2} 

\end{align} $$

 

에 의해 $\left|\sqrt{2} - \frac{a}{b}\right|$는 항상 0보다 크므로 $\sqrt{2}$는 유리수가 될 수 없다.

 

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귀류법을 살짝 꼬아놓은 증명

 

$r = \sqrt{n}$이 유리수라면 $r$은 정수임을 보일 것이다. 이것이 증명된다면 $\sqrt{2}$는 정수가 아니므로 무리수가 된다.

 

$r = \frac{a}{b}$라고 두면 ($a$, $b$는 서로소인 정수) $gcd(a,b)=1$이고, 어떤 정수 $c$, $d$가 존재하여 $ad-bc = 1$이 된다. 그리고

 

$$\begin{align} 0 &= (a-br)(c+dr) \\&= ac + adr - bcr -bdr^2 \\&= ac + r - bdn \end{align}$$

 

인데, $ac$와 $bdn$이 모두 정수이므로 $r$도 정수이다.

 

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짧은 증명

 

어떤 유리수의 제곱을 소인수 분해하면, 각 소수의 지수는 짝수가 된다. 2는 2의 지수가 1이므로 유리수가 아니다.

 

 

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재밌는 증명

 

귀류법을 사용했지만 증명이 재밌어서 가져와봤다.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2

 

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$로 표현할 수 있다고 가정하자. ($a$, $b$는 서로소인 정수) 일반성을 잃지 않고 $a>b$라고 가정하고 위와 같이 정사각형 3개를 그린다. 아래 등식은 어렵지 않게 보일 수 있다.

 

$$(2b-a)^2 = 2(a-b)^2$$

 

그런데 그림을 잘 보면 가운데 진한 정사각형과 좌상단과 우하단의 흰 정사각형은, 한 변이 $a$인 정사각형과 한 변이 $b$인 정사각형과 정확히 같은 관계를 갖는다. 즉, 하나가 다른 하나의 면적의 2배이다. 그렇다면 이 과정을 무한히 반복할 수 있을 것이다. 하지만 $a$와 $b$가 자연수이므로 이것은 모순이다. 따라서 $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$로 표현할 수 없다.

 

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같이 읽기: proof by negation and proof by contradiction

https://math.andrej.com/2010/03/29/proof-of-negation-and-proof-by-contradiction/

https://gowers.wordpress.com/2010/03/28/when-is-proof-by-contradiction-necessary/

 

참고한 곳들

https://mathoverflow.net/questions/32011/direct-proof-of-irrationality

https://math.stackexchange.com/questions/20567/irrationality-proofs-not-by-contradiction

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2

https://math.stackexchange.com/questions/395500/direct-proof-for-the-irrationality-of-sqrt-2

https://www.cut-the-knot.org/proofs/SqContinuedFraction.shtml

https://blog.naver.com/alwaysneoi/100140972630

https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml ($\sqrt{2}$가 무리수라는 29가지 증명 방법)