e의 정의

 

 

지수함수의 도함수

일단 임의의 양의 실수 $a$에 대해 지수함수 $y=a^x$는 $x\in \mathbb{R}$에서 잘 정의된다고 치자. 또한 그래프가 어떻게 생겼는지도 알고, 몇 가지 성질도 이미 주어져있다고 치자. ($a^0=1,a^1=1,a^{p+q}=a^p\cdot a^q,a^{pq}={\left(a^p\right)}^q,a^{-p}=1/a^p$, 치역, 연속, 단조증가함수 등)

 

 

이제 $y=a^x$의 도함수를 계산해보자.

 

$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dx}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =a^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\\ & =\lambda a^x\\ \text{(1)}& & =\lambda f(x)\end{array}$$

 

여기서 $\lambda$는 아래와 같이 정의되는 상수이며, 도함수의 정의에 의해 $y^{\prime }(0)$이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \lambda =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=y^{\prime }(0)\end{array}$$

 

식 (1)을 보면 지수함수는 특별한 함수임을 알 수 있다. 도함수가 자기 자신의 상수배가 된다. 그렇다면 $\lambda =1$이라면 매우 특별한 함수일 것이다. 매우 특별한 것이니 이름을 붙이자. 아래 식을 만족하는 실수 $a$를

 

$$1=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}$$

 

지수함수(exponential)를 대표한다는 의미로 $e$라고 표기하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}\end{array}$$

 

그렇다면 $y=e^x$의 $x=0$에서의 기울기는 1이다.

 

 

지수함수의 역함수

한편 $y=a^x$는 단조증가함수이므로 역함수를 생각할 수 있다. $y=a^x$의 역함수는 $x=a^y$를 만족할 것이다. 이것을 $y$에 대한 explicit form으로 쓰기위해 아래와 같은 함수 $\log$를 정의하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& y={\log }_{a}x\iff x=a^y\end{array}$$

 

우리말로 풀어 쓰자면 ${\log }_{a}x$는 "$a$를 몇 승하면 $x$가 되는가"라고 말할 수 있을 것이다. $y=a^x$와 $y={\log }_{a}x$를 그래프로 그리면 아래와 같을 것이며,

 

 

두 그래프는 역함수 관계이므로 $y=x$ 그래프에 대해 대칭이며, $y=a^x$의 $x=0$에서의 기울기와 $y={\log }_{a}x$의 $x=1$에서의 기울기도 역수 관계일 것이다. 이 값을 계산해보자.

 

$$\begin{array}{rl}1& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{h{\log }_{e}a}-1}{h{\log }_{e}a}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{{\log }_{e}a}\frac{a^h-1}{h}\\ & =\frac{1}{{\log }_{e}a}\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\\ & =\frac{1}{{\log }_{e}a}\cdot \frac{d}{dx}{a}^x{|}_{x=0}\end{array}$$

 

로부터

 

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{a}^x{|}_{x=0}& ={\log }_{e}a\\ \frac{d}{dx}{\log }_{a}x{|}_{x=1}& =\frac{1}{{\log }_{e}a}\end{array}$$

 

임을 알 수 있다. $a=e$라면 특별히

 

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{e}^x{|}_{x=0}& ={\log }_{e}e=1\\ \text{(5)}& \frac{d}{dx}{\log }_{e}x{|}_{x=1}& =\frac{1}{{\log }_{e}e}=1\end{array}$$

 

이 되어, $y=e^x$의 $x=0$에서의 기울기와 $y={\log }_{e}x$의 $x=1$에서의 기울기는 1로 같다.

 

$\log$ 함수의 성질

 

$\log$ 함수에는 재밌는 성질이 있다. 임의의 양의 실수 $x$와 임의의 실수 $y$에 대해서

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\log }_a{x}^y=y{\log }_{a}x\end{array}$$

 

가 성립한다. 증명은 아래와 같다.

 

$$\begin{array}{rl}z& ={\log }_a{x}^y\\ a^z& =x^y\\ a^{z/y}& =x\\ {\log }_a{a}^{z/y}& ={\log }_{a}x\\ \frac{z}{y}& ={\log }_{a}x\\ z& =y{\log }_{a}x\end{array}$$

 

$e$의 정의

이제 $e$ 값을 (3)과 같은 형태가 아닌 explicit form으로 정의해보자. 식 (3)과 (5)로부터

 

$$1=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_e(1+h)}{h}$$

 

이고, 식 (6)으로부터

 

$$1=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_e(1+h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left[{{\log }_e(1+h)}^{\frac{1}{h}}\right]$$

 

이다. ${\log }_{e}x$는 $x$에 대한 연속함수이므로

 

$$1=\underset{h\to 0}{lim}\left[{{\log }_e(1+h)}^{\frac{1}{h}}\right]={\log }_e\left[\underset{h\to 0}{lim}{(1+h)}^{\frac{1}{h}}\right]$$

 

가 성립하며, $\log$ 함수의 정의에 의해

 

$$e=\underset{h\to 0}{lim}{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$$

 

이다.

 

$e$의 다른 정의

$e$를 정의하는 다른 방법도 있다. 우선 $y=e^x$의 $x=x_0$에서의 기울기는 $e^{x_0}$이다. $\log$ 함수는 지수함수의 역함수이므로, $y={\log }_{e}x$의 $y=y_0$에서의 기울기는 $1/e^{y_0}$일 것이다. $y_0={\log }_e{x}_0$로 두면 $e^{y_0}=x_0$이므로, $y={\log }_{e}x$의 $x=x_0$에서의 기울기는 $1/x_0$가 된다.

 

$$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}$$

 

양변을 1에서 $a(>1)$까지 적분해보자.

 

$${\int }_1^a\frac{d}{dx}{\log }_{e}xdx={\log }_{e}a-{\log }_{e}1={\log }_{e}a={\int }_1^a\frac{1}{x}dx$$

 

이 되며, 특별히 $a=e$일 때

 

$$1={\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$

 

가 된다. 즉, $e$는 $x=1,x=e,y=0,y=1/x$ 그래프로 둘러싸인 면적이 1이 되게 하는 상수이다.

 

 

 

 

게으른