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역함수의 존재성과 전단사 함수에 대하여

게으른 the lazy 2023. 9. 4. 16:52

역함수의 존재성과 전단사 함수에 대하여.pdf
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(본 글은 수학의 즐거움 직문수 4강을 참고하여 작성한 것입니다.)

 

아래와 같은 함수 f:ABf:AB가 있다.

 

 

함수가 갖춰야 할 조건을 모두 갖췄으므로 분명히 함수가 맞다. f:ABf:AB의 역함수 g:BAg:BA는 아래 조건을 만족해야 한다.

 

gf=idAgf=idA

fg=idBfg=idB

 

idAidAidBidB는 각각 AA에서 AA로 가는 항등함수, BB에서 BB로 가는 항등함수를 말한다. 합성 함수의 결과가 항등함수가 되어야 한다고 하니, 그냥 심플하게 뒤집어서 붙여보자.

 

 

아차, gg가 함수가 아니다. gg가 함수이려면 어떻게 해야 할까? 우선 2와 3이 모두 bb를 가리켜서는 답이 없다. g(b)=2g(b)=2이면 gf(3)3gf(3)3이고, g(b)=3g(b)=3이면 gf(2)2gf(2)2이기 때문이다. 따라서 ff는 반드시 단사함수여야 한다.

 

 

이렇게...? 아차, ee는 어떡하지? gg가 함수이기만 하면 되니까 ee는 아무데로나 쏘자.

 

 

이렇게 만든 함수 gg는 분명히 아래를 만족한다.

 

gf=idAgf=idA

 

실제로는 아래 두 명제가 동치이다.

 

(1) 함수 f:ABf:AB가 단사함수이다.

(2) gf=idAgf=idA인 함수 g:BAg:BA가 존재한다.

 


 

이번엔 fg=idBfg=idB다. 이번에도 심플하게 뒤집어서 붙여보자.

 

 

 

뭐가 문제가 많다. 우선 ddee가 문제다. dddd로, eeee로 되돌려주면서 ff가 함수이려면,

 

 

ff가 이런 모양일 수밖에 없다. 즉, ff는 반드시 전사함수여야 한다.

 

해결할 문제가 하나 더 남았다. bb는 2와 3 둘 중 하나로만 가야 한다. 아무거나 고르자.

 

 

이렇게. 이 함수 gg는 분명히 아래를 만족한다.

 

fg=idBfg=idB

 

실제로는 아래 두 명제가 동치이다.

 

(1) 함수 f:ABf:AB가 전사함수이다.

(2) fg=idBfg=idB인 함수 g:BAg:BA가 존재한다.

 

이걸로 다 된걸까...? 혹시...

 

 

bb를 2와 3 중 어디로 쏠지 골랐던 것처럼 골라야 하는 경우가 너무 많으면? 그 경우가 무한개라면? 무한개의 집합에서 원소를 하나씩 고르는 함수가 정말 잘 존재하는지 우리는 알 수 없다.

 

하지만 그런 함수가 존재한다고 치자. 이것을 선택공리Axiom of Choice, AoC라고 부른다.

 

선택공리는 너무 자명해보이기 때문에 왜 굳이 공리로 두어야 하는지 받아들이기 어려울 수 있다. 하지만 선택공리로부터 유도되는 유명하고 비직관적인 정리가 있다. 궁금하면 아래 영상을 보자.

 

 

(참고로 선택공리를 받아들이지 않는 수학자도 있다. 어디까지나 공리일 뿐이니까.)

 

어쨌든 결론은 아래와 같다.

 

함수 f:ABf:AB에 대해

gf=idAgf=idA

fg=idBfg=idB

를 만족하는 ff의 역함수 g:BAg:BA가 존재하기 위한 필요충분조건은 ff가 전단사 함수인 것이다.

 

- 게으른

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