귀류법이란?

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시간을 달리는 소녀에서 주인공 마코토는 자기가 먹으려고 사둔 푸딩을 동생이 먹었음을 깨닫고 짜증을 낸다. 그런데 사실 마코토는 동생이 푸딩을 먹는 모습을 보지 못했다. 그렇다면 무슨 논리로 동생이 푸딩을 먹었음을 알았을까?

 

상황을 아래와 같이 단순화하자.

- 마코토는 푸딩을 하나 사서 냉장고에 넣어두었다.

- 밖에 나갔다 들어오니 푸딩이 없어졌다.

- 그 사이에 집에 들어왔던 사람은 동생밖에 없다.

 

분명히 마코토는 동생이 푸딩을 먹는 모습은 보지 못했다. 하지만 우리는 알고 있다. 동생이 먹었다. 어떻게 알 수 있을까?

 

우리가 보이려는 명제는 아래와 같다.

 

푸딩이 없어졌고, 집에 들어왔던 사람은 동생밖에 없다 → 동생이 푸딩을 먹었다.

 

위 명제가 참이라면, 동생이 푸딩을 먹었음을 보이기 위해 전건을 확인하면 된다. 위 명제는 아래의 형태를 띠고 있는데,

 

$$ P \to Q $$

 

이것이 참인 것과 아래 명제가 거짓인 것은 동치이다. 

 

$$ P \wedge \sim Q $$

 

즉, 아래 명제의 참거짓을 확인해보면 된다.

 

푸딩이 없어졌고, 
집에 들어왔던 사람은 동생밖에 없는데,
동생은 푸딩을 먹지 않았다.

 

이 명제는 모순이다. 따라서 $P \to Q$는 참이다. 그리고 $P$를 알고 있으므로 $Q$가 참이며, 동생이 푸딩을 먹은 것이 된다. 이것이 귀류법의 구조이다.