테일러 급수의 수렴 조건

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테일러 급수의 수렴 조건

게으른 the lazy 2024. 8. 25. 02:14

본 글의 내용 대부분은 교양을 위한 대학수학 1(김성기 외, 교우사)에서 가져왔습니다.

미분 가능한 함수 $f (x)$ 가 주어져있을 때, $x = 0$ 근방에서 $f (x)$ 와 "가장 가까운" 1차 함수는 접선이다.

$p_{1} (x) = f (0) + f^{'} (0) x$

여기서 두 함수가 "가깝다"는 것은, 적어도 $x = 0$ 근방에서는 $p_{1} (x)$ 로 $f (x)$ 를 잘 표현할 수 있다는 뜻이다. 혹은 $f (x)$ 대신 $p_{1} (x)$ 를 써도 어느 정도는 무방하다고 말할 수도 있을 것이다. 이것을 수학적으로는 두 함수의 차이를 이용해서 표현할 수 있다.

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - p_{1} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} - f^{'} (0) = 0$

즉, $f (x)$ 와 $p_{1} (x)$ 의 차이는 $x$ 보다 더 빨리 0에 수렴한다.

1차 함수보다 원래 함수에 더 가까운 다항식을 만들고 싶다면 차수를 높이면 된다. $x = 0$ 에서 $f (x)$ 와 가장 가까운 2차 함수는 무엇일까? 즉, 아래를 만족하는 2차 함수 $p_{2} (x) := a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ 를 알고 싶다.

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2})}{x^{2}} = 0$

이 식의 의미는, $f (x)$ 를 polynomial로 표현할 수 있다면 $f (x) - p_{2} (x)$ 에는 $x^{2}$ "성분"이 남지 않아야 한다는 뜻이다. 그래야 분자에 $x^{3}$ 이상의 성분만 남아서 분자가 분모보다 더 빨리 수렴하기 때문이다. 위 극한의 값이 존재하려면 분자가 0이어야 하므로

$f (0) - a_{0} = 0 \Rightarrow a_{0} = f (0)$

로피탈 정리를 적용하면

$lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x) - a_{1} x - 2 a_{2} x}{2 x} = 0$

로부터 $a_{1} = f^{'} (0)$ 이다. 로피탈을 한번 더 적용하면

$lim_{x \to 0} \frac{f^{″} (x) - 2 a_{2}}{2} = 0$

로부터 $a_{2} = f^{″} (0) / 2$ 이다. 따라서 $x = 0$ 근방에서 미분가능한 함수 $f (x)$ 와 가장 가까운 2차 함수는

$p_{2} (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2} x^{2}$

이다.

이것을 $n$ 차 다항식으로 일반화하면, 미분가능한 함수 $f (x)$ 의 $x = 0$ 근방에서 $f (x)$ 와 가장 가까운 $n$ 차 다항식 $p_{n} (x)$ 는 다음을 만족한다.

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - p_{n} (x)}{x^{n}} = 0$

이 다항식 $p_{n} (x)$ 를 $f (x)$ 의 $n$ 차 근사다항식이라고 부르며, 아래와 같이 표기한다.

$f (x) \sim p_{n} (x)$

앞의 과정을 반복하면 $p_{n} (x)$ 가 아래와 같음을 알 수 있다.

$\begin{aligned} p_{n} (x) & = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \end{aligned}$

즉, $x = 0$ 에서의 정보만을 이용해서 $x \neq 0$ 에서의 값을 추정할 수 있다.

Q. $n$ 이 무한대가 되면 멱급수 $p_{\infty} (x)$ 가 원래 함수 $f (x)$ 와 같아진다는 보장이 있을까?

아래는 근사다항식의 몇 가지 성질이다.

$f (x) \sim p_{n} (x)$ 이면 $f^{'} (x) \sim p_{n}^{'} (x)$ 이고, $F (x) \sim P_{n} (x)$ 이다. 여기서 $F (x)$ 와 $P_{n} (x)$ 는 각각 $f (x)$ 와 $p_{n} (x)$ 의 원시함수이다.

$f (x) \sim p_{n} (x)$ 이면 $f (a x^{m})$ 의 $m n$ 차 근사다항식은 $p_{n} (a x^{m})$ 이다.

$f (x) \sim p_{n} (x)$ , $g (x) \sim q_{n} (x)$ 이면 $f (x) g (x)$ 의 $n$ 차 근사다항식은 $p_{n} (x) q_{n} (x)$ 의 $n$ 차 이하의 항만 취한 것이다. 여기서 주목할 점은 $f (x) g (x)$ 의 $n^{2}$ 차 근사다항식이 $p_{n} (x) q_{n} (x)$ 가 아니라는 점이다. 예를 들어,

$e^{x} \sim 1 + x + \frac{1}{2} x^{2}$

이지만,

${(1 + x + \frac{1}{2} x^{2})}^{2} = 1 + 2 x + 2 x^{2} + x^{3} + \frac{1}{4} x^{4}$

인 반면,

$e^{2 x} \sim 1 + 2 x + 2 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4}$

으로, 둘은 2차까지만 일치함을 볼 수 있다.

예) $f (x) = \ln (1 + x)$ 의 도함수는 아래와 같다.

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (1 + x)^{- 1} \\ f^{″} (x) & = - (1 + x)^{- 2} \\ f^{‴} (x) & = 2 (1 + x)^{- 3} \\ ⋮ \\ f^{(n)} (x) & = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! (1 + x)^{- n} \end{aligned}$

따라서 $\ln (1 + x)$ 의 $n$ 차 근사다항식은 아래와 같다.

$\ln (1 + x) \sim x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \dots + \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} x^{n}$

근사다항식의 성질에 의해 양변을 미분할 수 있다.

$\frac{1}{1 + x} \sim 1 - x + x^{2} - x^{3} + . . . + (- 1)^{n - 1} x^{n - 1}$

우변의 근사다항식은 무한차수까지 계속할 수 있지만, $| x | < 1$ 일 때에만 수렴한다. 이 사실은 뒤에서 한번 더 살펴볼 것이다.

Q. 방금 보았듯이, 무한차수 근사다항식은 항상 수렴한다는 보장이 없다. 그렇다면 언제 $f (x)$ 와 $p_{\infty} (x)$ 가 같아질까?

미분가능한 함수 $f (x)$ 가 주어져있을 때, 아래의 두 함수에

$y = f (x) - f (0) y = x$

구간 $[0, x]$ 에서 코시의 평균값 정리를 적용하면 어떤 $c \in (0, x)$ 에 대해 아래를 만족한다.

$\frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{f^{'} (c)}{1}$

이것은 사실 $f (x)$ 의 1차 근사식을 도출한 것과 같다.

$f (x) = f^{'} (c) x + f (0)$

이번에는 $f (x)$ 에서 1차 근사식을 뺀 것과 $y = x^{2}$ 에

$y = f (x) - f (0) - f^{'} (0) x y = x^{2}$

똑같이 $[0, x]$ 구간에서 코시의 평균값 정리를 적용해보면, 어떤 $c_{1} \in (0, x)$ 에 대해 아래를 만족한다.

$\frac{f (x) - f (0) - f^{'} (0) x}{x^{2} - 0} = \frac{f^{'} (c_{1}) - f^{'} (0)}{2 c_{1}}$

여기서 아래의 두 함수에 대해

$y = \frac{f^{'} (x) - f^{'} (0)}{2} y = x$

이번에는 $[0, c_{1}]$ 구간에서 코시의 평균값 정리를 적용해보면,

$\frac{f^{'} (c_{1}) - f^{'} (0)}{2 (c_{1} - 0)} = \frac{f^{″} (c_{2})}{2}$

를 만족하는 어떤 $c_{2} \in (0, c_{1})$ 이 존재한다. 정리해보면, 어떤 $c_{2} \in (0, x)$ 에 대해 아래 식이 성립한다.

$\frac{f (x) - f (0) - f^{'} (0) x}{x^{2}} = \frac{f^{″} (c_{2})}{2}$

즉, $f (x)$ 에서 $f (x)$ 의 1차 근사다항식을 빼면 어떤 $c_{2} \in (0, x)$ 에 대해서 아래 식이 성립한다.

$f (x) - f (0) - f^{'} (0) x = \frac{f^{″} (c_{2})}{2} x^{2}$

이 식은 근사다항식이 아니라 정확한 등식임에 주목하라.

이 과정을 일반화하면 아래와 같다. $x = 0$ 을 포함하는 열린 구간 $S$ 에서 $(n + 1)$ 번 미분가능한 함수 $f (x)$ 와 임의의 $x \in S$ 에 대해

$f (x) - f (0) - f^{'} (0) x - \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} - . . . - \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} x^{n + 1}$

를 만족하는 $c \in (0, x)$ 가 존재한다. 이 식을 $f (x)$ 에 대해서 쓰면 아래와 같은데,

$f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} x^{n + 1}$

이것을 Taylor polynomial이라고 부른다. 우변의 마지막 항을 제외하면 $n$ 차 근사다항식과 같음을 알 수 있다. 우변 마지막 항을 $n$ 차 잉여항이라고 부르며, $R_{n} (x)$ 로 표기한다.

앞서 언급했던 질문을 다시 보자. $f (x)$ 의 $n$ 차 근사다항식은 $n$ 을 무한대로 보내면 멱급수 $p_{\infty} (x)$ 가 된다. 정의역의 어떤 $x$ 에서 $f (x) = p_{\infty} (x)$ 가 되려면, $n \to \infty$ 일 때 Taylor polynomial의 잉여항이 0이 되어야 한다.

구간 $[0, x]$ 에서 $| f^{(n + 1)} (t) |$ 의 최대값을 $M_{n} (x)$ 라 하자. 다음 식이 성립한다.

$| R_{n} (x) | \leq M_{n} (x) \frac{| x |^{(n + 1)}}{(n + 1)!}$

예를 들어 $f (x) = \sin (x)$ 로 두면 $M_{n} (x) \leq 1$ 이므로

$| R_{n} (x) | \leq \frac{| x |^{(n + 1)}}{(n + 1)!}$

이고, 모든 실수 $x$ 에 대해서

$lim_{n \to \infty} | R_{n} (x) | = 0$

이다. 따라서

$\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{(2 n + 1)}$

라고 쓸 수 있다. 아래는 $\sin x$ 의 Taylor polynomial이 $\sin x$ 로 수렴하는 모습이다.

figure, ax = axes;
hold on, box off
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

x = linspace(-10, 10);

fplot(@sin, minmax(x), 'r', LineWidth=2)
p = plot(x, x, 'b', LineWidth=2);
ylim([-2, 2])
l = legend('sin(x)', '0-th order Taylor');

pause(1)

for n = 1:15
    p.YData = p.YData + (-1)^n/factorial(2*n+1) * x.^(2*n+1);
    l.String{2} = sprintf('%d-th order Taylor', n);
    pause(0.3)
end

앞에서 봤던 $f (x) = \ln (1 + x)$ 를 다시 보자. 일단 정의역은 $x > - 1$ 이다. 아래 식은 $t \neq - 1$ 에서 항상 성립한다.

$\frac{1}{1 + t} = 1 - t + t^{2} - . . . + (- 1)^{n - 1} t^{n - 1} + \frac{(- 1)^{n} t^{n}}{1 + t}$

위 식을 0부터 $x$ 까지 적분하면 아래와 같다. (단, $x > - 1$ )

$\ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - . . . + \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} x^{n} + (- 1)^{n} \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1 + t} d t$

우변의 마지막 항을 제외하면 $\ln (1 + x)$ 의 $n$ 차 근사다항식과 같으므로, 마지막 항은 잉여항 $R_{n} (x)$ 이다. 어느 $x$ 범위에서 $n \to \infty$ 일 때 잉여항이 $0$ 이 될까?

$x > 1$ 이면, $a > 2 x$ 를 만족하는 어떤 $a$ 에 대해

$| R_{n} (x) | = \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1 + t} d t \geq \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{a} d t = \frac{1}{a} \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$

이므로

$lim_{n \to \infty} | R_{n} (x) | = \infty$

이다. 즉, $x > 1$ 에서는 잉여항이 수렴하지 않으므로 $\ln (1 + x)$ 의 무한차수 근사다항식의 값은 $\ln (1 + x)$ 와 같지 않다.

$x \in [0, 1]$ 이라면,

$| R_{n} (x) | = \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1 + t} d t \leq \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1} d t = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$

이므로,

$lim_{n \to \infty} | R_{n} (x) | = 0$

이다. 따라서 이 범위의 $x$ 에 대해서는 잉여항이 $0$ 으로 수렴하므로 $\ln (1 + x)$ 의 무한차수 근사다항식의 값은 $\ln (1 + x)$ 와 같다.

$x \in (- 1, 0)$ 이면, 어떤 $a \in (- 1, x)$ 에 대해

$| R_{n} (x) | = \int_{0}^{x} \frac{| t |^{n}}{1 + t} d t \leq \int_{0}^{x} \frac{| t |^{n}}{1 + a} d t = \frac{1}{1 + a} \frac{| x |^{n + 1}}{n + 1}$

이므로,

$lim_{n \to \infty} | R_{n} (x) | = 0$

이다. 따라서 이 범위의 $x$ 에 대해서는 잉여항이 0으로 수렴하므로 $\ln (1 + x)$ 의 무한차수 근사다항식의 값은 $\ln (1 + x)$ 와 같다.

종합하자면, $\ln (1 + x)$ 의 $n$ 차 잉여항은 $x \in (- 1, 1]$ 일 때에는 0으로 수렴하고 그 외에는 발산한다. 즉, $\ln (1 + x)$ 는 $(- 1, 1]$ 범위에서 $p_{\infty} (x)$ 와 같다. 아래는 이 함수의 수렴 영역을 보여주고 있다.

figure, ax = axes; 
hold on, box off
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

x = linspace(-0.999, 5);

fplot(@(x) log(1+x), 'b', LineWidth=2)
pn = @(n) (-1)^(n-1)/n*x.^n;
p = plot(x, pn(1), 'r-', LineWidth=2);
ylim([-5, 5])
l = legend('ln(x)', '1-th order Taylor');

pause(1)

for n = 2:30
    p.YData = p.YData + pn(n);
    l.String{2} = sprintf('%d-th order Taylor', n);
    pause(0.3)
end

함수 $f (x)$ 가 무한번 미분가능하다면,

$T (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + . . .$

를 $f (x)$ 의 $x = 0$ 에서의 테일러 급수(Talyor series)라고 부른다. 이것을 $x = p$ 로 일반화하면 다음과 같다.

$T (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (p)}{n!} (x - p)^{n} = f (p) + f^{'} (p) (x - p) + \frac{f^{″} (p)}{2!} (x - p)^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (p)}{n!} (x - p)^{n} + . . .$

$f (x)$ 가 $T (x)$ 와 같을 필요충분조건은

$lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$

이다. $f (x)$ 가 무한번 미분 가능하다면 $f (x)$ 의 테일러 급수 $T (x)$ 는 항상 얻을 수 있다. 하지만 $T (x)$ 가 계산된다고 하여 $f (x) = T (x)$ 를 보장하지는 않는다. 이미 앞에서 $\ln (1 + x)$ 의 경우를 보았다. 이 함수는 $x \in (1, \infty)$ 에서 $f (x)$ 와 $T (x)$ 가 같지 않았다.

이번엔 $x > 0$ 인 모든 점에서 $f (x) \neq T (x)$ 인 경우를 보겠다. 아래와 같이 정의된 함수 $f (x)$ 가 있다.

$f (x) = {\begin{cases} e^{- 1 / x} & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function

이 함수의 도함수는 아래와 같은데,

$f^{(n)} (x) = {\begin{cases} \frac{P_{n} (x)}{x^{2 n}} f (x) & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases}$

여기서 $P_{n} (x)$ 는 아래와 같이 재귀적으로 정의되는 함수이다.

$P_{n + 1} (x) = x^{2} P_{n}^{'} (x) - (2 n x - 1) P_{n} (x)$

이 함수의 $x = 0$ 에서의 $n$ 차 도함수는 모두 0이다. 증명은 위키피디아 페이지로 갈음한다. 따라서 이 함수는 $(- \infty, 0]$ 에서만 $T (x) = f (x)$ 이다.

이 함수는 대표적인 비해석적 함수(non-analytic function)이다. 해석적 함수(analytic function)란 정의역의 모든 점의 근방에서 테일러 급수가 원래의 함수값으로 수렴하는 함수를 말한다. 위에서 본 함수는 $x > 0$ 인 모든 점에서 이 조건을 만족하지 않는다. 심지어 모든 점에서 무한번 미분 가능함(smooth)에도 불구하고 비해석적이라는 특징을 갖는다.

이번 글에서는 테일러 급수의 수렴 조건에 대해서 알아보았다.

끗

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