얼마 전 계승혁 교수님의 집합론 영상을 끝까지 봤다. 마지막 챕터가 선택공리, 서수, 기수에 대한 내용이었는데, 서수와 기수를 먼저 이용해놓고는 막상 정의는 마지막에 가서 하는 것이 좀 의아했다. 예를 들어 전단사함수가 존재하는 두 집합 와 는 대등하다(equipotent)고 말하며, 아래와 같이 쓰면서,
""를 의 기수라 부른다"고 적혀있다. 만족스럽지 않은 설명이라고 생각했는데, 정의를 보니까 왜 정의를 나중에 설명하는지 납득이 됐다.
솔직히 이 글을 쓰는 지금도 이해했다고는 말 못하겠는데, 감은 온 것 같아서 기록을 남겨둔다.
두 집합 , 간에 순서를 보존하는 전단사함수가 있으면 두 집합을 순서동형(order isomorphic)이라고 말하며, 라고 쓴다. 자연수 집합은 이라고 쓰지만 정렬집합(well ordered set)으로 볼 때에는 라고 쓴다. 순서관계를 생각해보면 이지만 와 은 순서동형이 아니다. 는 최대원소가 없지만 은 최대원소가 있기 때문이다. 같은 방식으로 임의의 자연수 에 대해
임을 알 수 있다.
하지만 순서보존을 신경쓰지 않는다면 이 집합들은 모두 과 전단사함수가 있다. 즉, 집합의 크기는 같다. 순서만 다르다. 기수는 크기가 같은지, 즉 전단사함수가 존재하는지를 보는 것이고, 서수는 여기에 순서를 추가한 개념이다.
정확한 정의는 다음과 같다.
[Definition] 서수(ordinal number): 가 정렬집합이고 임의의 에 대해 이면 를 서수라고 부른다.
여기서 는 에 의한 절단으로, 로 정의된다. 임의의 자연수와 는 서수이다. 가 서수이면 맨 뒤에 를 삽입하면 서수의 성질을 만족하므로 서수가 된다. 따라서 임의의 자연수 에 대해 도 서수이다.
두 서수는 대소비교가 가능하다. 두 서수 와 에 대해 가 의 절편이면 라고 정의한다.
서수를 받아들이면 기수는 어렵지 않다. 어떤 집합 의 기수(cartinal number)의 정의는 와 전단사함수가 존재하는 서수 중 가장 작은 것이다. 앞서 말했듯 은 임의의 자연수 에 대해 과 전단사함수가 존재한다. 그 중에서 가장 작은 것인 가 의 기수이다. 따라서 은 기수가 될 수 없다. 과 사이에 전단사함수가 존재하기 때문이다. 즉, 서로 다른 두 서수는 같은 기수를 가질 수 있다. 다만 유한서수의 경우는 서수와 기수가 같다.
이 표기를 활용한 유명한 정리가 있다.
Schröder–Bernstein theorem: 두 집합 와 에 대해 와 모두 1-1 함수가 존재하면 와 사이에는 1-1 대응이 존재하며, 라고 쓴다.
