1 + 1/4 + 1/16 + ... = 4/3

 

'미적분의 힘'이라는 책을 읽고 있는데,

 

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... =  \frac{4}{3}$$

 

 

를 귀류법으로 증명할 수 있다고 나온다. 그런데 할 수 있다고만 나오지 어떻게 하는지는 안 나온다.

 

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그래서 해봤다. 어쩌다보니 증명을 해버렸다. 위 식이 $4/3$가 아니라면 $4/3$보다 크거나 작다.

 

1. 위 식이 $4/3$보다 작다면?

 

어떤 양수 $\epsilon$이 존재해서

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... =  \frac{4}{3} - \epsilon$$

 

을 만족한다. 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... =  \frac{4}{3} - 4\epsilon$$

 

이 된다. 또 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... =  \frac{4}{3} - 4^2 \epsilon$$

 

이 된다. 임의의 양수 $\epsilon$에 대해서 우변은 언젠가 0보다 작아지는데 (아르키메데스 성질) 좌변은 0보다 크므로 모순이다.

 

 

2. 위 식이 $4/3$보다 크다면?

 

더하는 모든 항이 양수이므로, 어떤 자연수 $n$이 존재해서 아래를 만족한다.

 

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{4^n} <  \frac{4}{3} $$

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{4^{n+1}} >  \frac{4}{3} $$

 

두 번째 식을 아래처럼 바꾸고

 

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{4^n}  >  \frac{4}{3} - \frac{1}{4^{n+1}} $$

 

양변에서 1을 뺴고 4를 곱하면,

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{4^{n-1}}  >  \frac{4}{3} - \frac{1}{4^{n}} $$

 

가 된다. 다시 아래처럼 정리하면,

 

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{4^{n-1}}  + \frac{1}{4^{n}} >  \frac{4}{3} $$

 

맨 처음과 모순이다.

 

- 게으른