mathe

1 + 1/4 + 1/16 + ... = 4/3

게으른 the lazy 2024. 1. 19. 19:46

 

'미적분의 힘'이라는 책을 읽고 있는데,

 

 

1+14+116+164+...=43

 

 

를 귀류법으로 증명할 수 있다고 나온다. 그런데 할 수 있다고만 나오지 어떻게 하는지는 안 나온다.

 


 

그래서 해봤다. 어쩌다보니 증명을 해버렸다. 위 식이 4/3가 아니라면 4/3보다 크거나 작다.

 

1. 위 식이 4/3보다 작다면?

 

어떤 양수 ϵ이 존재해서

 

1+14+116+164+...=43ϵ

 

을 만족한다. 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면

 

1+14+116+164+...=434ϵ

 

이 된다. 또 양변에서 1을 빼고 4를 곱하면

 

1+14+116+164+...=4342ϵ

 

이 된다. 임의의 양수 ϵ에 대해서 우변은 언젠가 0보다 작아지는데 (아르키메데스 성질) 좌변은 0보다 크므로 모순이다.

 

 

2. 위 식이 4/3보다 크다면?

 

더하는 모든 항이 양수이므로, 어떤 자연수 n이 존재해서 아래를 만족한다.

 

1+14+116+164+...+14n<43

1+14+116+164+...+14n+14n+1>43

 

두 번째 식을 아래처럼 바꾸고

 

1+14+116+164+...+14n>4314n+1

 

양변에서 1을 뺴고 4를 곱하면,

 

1+14+116+164+...+14n1>4314n

 

가 된다. 다시 아래처럼 정리하면,

 

1+14+116+164+...+14n1+14n>43

 

맨 처음과 모순이다.

 

- 게으른